1. Trong một hộp có 6 viên bi trắng và 4 viên bi đen. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 2 viên bi. Tính xác suất để cả 2 viên bi lấy ra đều là màu trắng.

2. Cho hai biến cố độc lập $A$ và $B$ với $P(A) = 0.4$ và $P(B) = 0.5$. Tính xác suất của biến cố hợp $P(A \cup B)$.

3. Cho biến ngẫu nhiên rời rạc $X$ có bảng phân phối xác suất: $X$ nhận giá trị 0, 1, 2 với xác suất tương ứng là 0.2, $k$, 0.5. Tìm giá trị của $k$.

4. Tính kỳ vọng $E(X)$ của biến ngẫu nhiên $X$ biết $X$ có bảng phân phối: $X = \{1, 2, 3\}$ với $P(X=1)=0.1, P(X=2)=0.6, P(X=3)=0.3$.

5. Một xạ thủ bắn vào bia với xác suất trúng là 0.8. Nếu bắn 10 phát độc lập, tính số phát trúng trung bình (kỳ vọng).

6. Trong phân phối chuẩn $N(\mu, \sigma^2)$, tham số $\mu$ đại diện cho giá trị nào sau đây?

7. Cho mẫu số liệu sau: 3, 5, 7, 9, 11. Tính phương sai mẫu hiệu chỉnh ($s^2$).

8. Nếu một biến ngẫu nhiên $X$ có phương sai $Var(X) = 16$, thì độ lệch chuẩn của nó là bao nhiêu?

9. Cho $P(A) = 0.6$. Tính xác suất của biến cố đối $\bar{A}$.

10. Công thức nào sau đây dùng để tính xác suất có điều kiện $P(A|B)$ khi $P(B) > 0$?

11. Một máy sản xuất sản phẩm với tỷ lệ phế phẩm là 5%. Chọn ngẫu nhiên 100 sản phẩm. Gọi $X$ là số phế phẩm. $X$ tuân theo phân phối nào?

12. Nếu $X$ và $Y$ là hai biến ngẫu nhiên độc lập, khẳng định nào sau đây về phương sai là đúng?

13. Ước lượng điểm cho trung bình tổng thể $\mu$ tốt nhất thường là:

14. Sai lầm loại I trong kiểm định giả thuyết thống kê xảy ra khi nào?

15. Một cửa hàng trung bình nhận được 3 đơn hàng mỗi giờ. Xác suất để trong một giờ cửa hàng không nhận được đơn hàng nào (giả sử tuân theo phân phối Poisson) là bao nhiêu?

16. Hệ số tương đương $r$ giữa hai biến số $X$ và $Y$ nằm trong khoảng nào?

17. Cho biến ngẫu nhiên liên tục $X$ có hàm mật độ $f(x)$. Tích phân $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx$ bằng bao nhiêu?

18. Độ rộng của khoảng tin cậy cho trung bình tổng thể sẽ thay đổi thế nào khi kích thước mẫu $n$ tăng lên (các yếu tố khác không đổi)?

19. Cho $X \sim N(20, 9)$. Tính $P(X < 20)$.

20. Giá trị nào của p-value dưới đây giúp bác bỏ giả thuyết $H_0$ ở mức ý nghĩa $\alpha = 0.05$?

21. Cho tập dữ liệu: 10, 20, 30, 40, 100. Giá trị trung vị (Median) là bao nhiêu?

22. Trong một phép thử, xác suất xảy ra biến cố $A$ là $p$. Lặp lại phép thử $n$ lần độc lập. Xác suất để biến cố $A$ không xảy ra lần nào là:

23. Phương sai của biến ngẫu nhiên $X$ được định nghĩa là:

24. Nếu $E(X) = 5$, tính $E(2X + 3)$.

25. Cho $X$ là biến ngẫu nhiên có phân phối Đều trên đoạn $[0, 10]$. Tính $P(2 < X < 5)$.

26. Trong kiểm định giả thuyết, mức ý nghĩa $\alpha$ là gì?

27. Hàm phân phối tích lũy $F(x)$ của biến ngẫu nhiên $X$ được định nghĩa là:

28. Một phân phối có hình chuông cân đối qua trung bình được gọi là:

29. Cho mẫu số liệu đã sắp xếp: 2, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 6. Tìm Mode (Yếu vị) của mẫu.

30. Định lý giới hạn trung tâm phát biểu rằng khi kích thước mẫu $n$ đủ lớn, phân phối của trung bình mẫu sẽ xấp xỉ phân phối nào?

31. Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất. Xác suất để mặt xuất hiện có số chấm là số nguyên tố là:

32. Cho hai biến cố $A$ và $B$ độc lập với nhau. Biết $P(A) = 0,4$ và $P(B) = 0,5$. Tính xác suất của biến cố hợp $P(A \cup B)$:

33. Biến ngẫu nhiên rời rạc $X$ có bảng phân phối xác suất: $X=1$ với $P=0,2$; $X=2$ với $P=0,5$; $X=3$ với $P=0,3$. Kỳ vọng $E(X)$ bằng:

34. Một xạ thủ bắn 5 viên đạn vào bia một cách độc lập, xác suất trúng mỗi lần là 0,8. Xác suất để xạ thủ bắn trúng đúng 3 lần là:

35. Cho biến ngẫu nhiên $X$ tuân theo quy luật chuẩn $N(\mu, \sigma^2)$. Khẳng định nào sau đây là SAI?

36. Cho mẫu số liệu kích thước $n=5$ gồm các giá trị: {2, 4, 6, 8, 10}. Trung bình mẫu bằng:

37. Biết $P(A) = 0,6; P(B) = 0,3$ và xác suất điều kiện $P(A|B) = 0,4$. Tính xác suất điều kiện $P(B|A)$:

38. Một kho hàng có hai máy sản xuất. Máy I sản xuất 60% sản phẩm, máy II sản xuất 40% sản phẩm. Tỷ lệ phế phẩm của máy I là 5%, máy II là 10%. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm thấy nó là phế phẩm. Xác suất sản phẩm đó do máy II sản xuất là:

39. Công thức nào sau đây dùng để tính phương sai của biến ngẫu nhiên $X$?

40. Một cửa hàng trung bình có 2 khách hàng đến trong 1 phút. Giả sử số khách đến tuân theo phân phối Poisson. Xác suất để trong 1 phút không có khách nào đến là:

41. Công thức tính phương sai mẫu hiệu chỉnh $s^2$ từ mẫu số liệu $x_1, x_2, …, x_n$ với trung bình mẫu $\bar{x}$ là:

42. Gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối. Xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai mặt bằng 7 là:

43. Đối với biến ngẫu nhiên $X$ tuân theo quy luật chuẩn $N(\mu, \sigma^2)$, xác suất $P(\mu – 3\sigma < X < \mu + 3\sigma)$ xấp xỉ bằng:

44. Theo định lý giới hạn trung tâm, khi kích thước mẫu $n$ đủ lớn ($n \ge 30$), phân phối xác suất của trung bình mẫu $\bar{X}$ sẽ xấp xỉ quy luật nào?

45. Trong kiểm định giả thuyết thống kê, sai lầm loại I xảy ra khi nào?

46. Khoảng tin cậy cho kỳ vọng $\mu$ của tổng thể có phân phối chuẩn khi đã biết phương sai $\sigma^2$ có dạng:

47. Cho mẫu số liệu đã sắp xếp tăng dần: 2, 5, 6, 8, 10. Trung vị (Median) của mẫu này là:

48. Xác suất bắn trúng bia của 3 người lần lượt là 0,6; 0,7; 0,8. Tính xác suất để có ít nhất một người bắn trúng bia:

49. Cho biến ngẫu nhiên $X$ có $E(X)=5$ và $E(X^2)=29$. Tính phương sai $Var(X)$:

50. Cho biến ngẫu nhiên $X$ tuân theo quy luật phân phối đều trên đoạn [0, 10], ký hiệu $X \sim U(0, 10)$. Xác suất $P(2 < X < 5)$ bằng:

51. Trong kiểm định giả thuyết, giá trị p (p-value) được định nghĩa là:

52. Nếu biến ngẫu nhiên $X$ tuân theo phân phối mũ với tham số $\lambda = 0,5$, thì kỳ vọng $E(X)$ là:

53. Nếu hai biến ngẫu nhiên $X$ và $Y$ độc lập với nhau thì hiệp phương sai $Cov(X, Y)$ bằng:

54. Có bao nhiêu cách chọn ra một nhóm gồm 3 học sinh từ một lớp có 10 học sinh (không phân biệt thứ tự)?

55. Biến ngẫu nhiên $Z$ tuân theo quy luật chuẩn tắc $N(0, 1)$. Giá trị của xác suất $P(Z < 0)$ là:

56. Cho mẫu số liệu: 2, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 6. Giá trị yếu vị (Mode) của mẫu này là:

57. Nếu hai biến cố $A$ và $B$ xung khắc (rời nhau), khẳng định nào sau đây luôn đúng?

58. Hệ số tương quan tuyến tính Pearson ($r$) giữa hai biến $X$ và $Y$ luôn nằm trong khoảng nào?

59. Ước lượng điểm tốt nhất (không chệch và có phương sai nhỏ nhất) cho kỳ vọng $\mu$ của tổng thể là:

60. Trong kiểm định giả thuyết về tỷ lệ $p$ của tổng thể, nếu giả thuyết đối là $H_1: p > p_0$, thì đây là loại kiểm định gì?

61. Cho hai biến cố $A$ và $B$ độc lập với nhau, biết $P(A) = 0,4$ và $P(B) = 0,5$. Tính xác suất của biến cố hợp $P(A \cup B)$.

62. Một biến ngẫu nhiên $X$ tuân theo quy luật phân phối Nhị thức $B(20; 0,4)$. Tính kỳ vọng $E(X)$.

63. Có bao nhiêu cách chọn ra một nhóm gồm $3$ học sinh từ một lớp học có $10$ học sinh?

64. Có hai hộp sản phẩm. Hộp 1 chứa $4$ chính phẩm và $2$ phế phẩm. Hộp 2 chứa $3$ chính phẩm và $3$ phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên một hộp rồi từ đó lấy ra một sản phẩm. Tính xác suất để sản phẩm lấy ra là chính phẩm.

65. Cho biến ngẫu nhiên $X$ có phương sai $Var(X) = 2$. Tính phương sai của biến ngẫu nhiên $Y = 4X + 5$.

66. Một tổng đài điện thoại nhận các cuộc gọi đến theo quy luật phân phối Poisson với trung bình $2$ cuộc gọi mỗi phút. Tính xác suất để trong một phút nhất định không có cuộc gọi nào đến.

67. Cho biến ngẫu nhiên $X$ tuân theo quy luật phân phối chuẩn $N(10; 4)$. Tính xác suất $P(X < 10)$.

68. Cho mẫu số liệu sau: $1, 3, 5, 7$. Tính trung bình mẫu $\bar{x}$.

69. Xác suất để một xạ thủ bắn trúng bia là $0,7$. Xác suất để xạ thủ đó bắn trượt bia là bao nhiêu?

70. Tìm trung vị của dãy số liệu sau: $3, 1, 4, 2, 5$.

71. Trong thống kê, ‘Yếu vị’ (Mode) của một tập dữ liệu được định nghĩa là:

72. Hệ số tương quan tuyến tính $r$ giữa hai biến số $X$ và $Y$ luôn nằm trong khoảng nào?

73. Sai lầm loại I trong kiểm định giả thuyết thống kê xảy ra khi nào?

74. Trong khoảng tin cậy cho kỳ vọng của phân phối chuẩn khi đã biết phương sai, giá trị tới hạn $z_{\alpha/2}$ tương ứng với độ tin cậy $95\%$ là bao nhiêu?

75. Cho biến ngẫu nhiên rời rạc $X$ có bảng phân phối xác suất: $X$ nhận giá trị $1$ với xác suất $0,6$ và nhận giá trị $2$ với xác suất $0,4$. Tính kỳ vọng $E(X)$.

76. Nếu một biến ngẫu nhiên $X$ có phương sai $Var(X) = 25$, thì độ lệch chuẩn $\sigma_X$ là bao nhiêu?

77. Công thức tính xác suất có điều kiện $P(A|B)$ khi $P(B) > 0$ là:

78. Cho $P(A) = 0,3$, $P(B|A) = 0,2$ và $P(B|\bar{A}) = 0,1$. Tính xác suất $P(B)$ theo công thức xác suất đầy đủ.

79. Biến ngẫu nhiên $X$ phân phối đều trên đoạn $[0; 10]$. Tính kỳ vọng $E(X)$.

80. Hàm mật độ của biến ngẫu nhiên phân phối mũ $X \sim Exp(\lambda)$ với $\lambda > 0$ là $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$ với $x \ge 0$. Hàm phân phối tích lũy $F(x)$ tương ứng với $x \ge 0$ là:

81. Theo Định lý giới hạn trung tâm, khi kích thước mẫu $n$ đủ lớn, phân phối của trung bình mẫu $\bar{X}$ sẽ xấp xỉ phân phối nào?

82. Một ước lượng được gọi là ước lượng không chệch của tham số $\theta$ nếu:

83. Nếu $X$ là biến ngẫu nhiên liên tục, xác suất để $X$ nhận chính xác một giá trị $x_0$ bằng bao nhiêu?

84. Công thức tính phương sai mẫu hiệu chỉnh $s^2$ từ mẫu $x_1, x_2, …, x_n$ là:

85. Biến ngẫu nhiên $X$ tuân theo quy luật Bernoulli với xác suất thành công $p = 0,5$. Tính phương sai $Var(X)$.

86. Cho hai biến ngẫu nhiên độc lập $X$ và $Y$ với $E(X) = 10$ và $E(Y) = 4$. Tính kỳ vọng $E(X – Y)$.

87. Trong mô hình hồi quy tuyến tính đơn $y = \beta_0 + \beta_1 x + \epsilon$, nếu hệ số góc $\beta_1 > 0$ thì:

88. Phân phối Student (t-distribution) có đặc điểm nào sau đây?

89. Luật số lớn (Law of Large Numbers) khẳng định rằng khi số phép thử tăng lên vô hạn, trung bình cộng của các kết quả quan sát được sẽ:

90. Độ nhọn (Kurtosis) của phân phối chuẩn tắc bằng bao nhiêu?

91. Cho hai biến cố $A$ và $B$ độc lập với nhau, biết $P(A) = 0,4$ và $P(B) = 0,5$. Tính xác suất biến cố hợp $P(A \cup B)$.

92. Trong một hộp có 5 quả cầu trắng và 3 quả cầu đen. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 2 quả cầu. Tính xác suất để cả 2 quả lấy ra đều là cầu trắng.

93. Cho biến ngẫu nhiên rời rạc $X$ có bảng phân phối xác suất với các giá trị $x_1=1, x_2=2$ và xác suất tương ứng $P(X=1)=0,3, P(X=2)=0,7$. Tính kỳ vọng $E(X)$.

94. Một xạ thủ bắn 3 viên đạn vào bia một cách độc lập. Xác suất trúng đích của mỗi lần bắn là $0,8$. Tính xác suất để xạ thủ đó bắn trúng ít nhất một viên.

95. Biến ngẫu nhiên $X$ tuân theo quy luật phân phối chuẩn $N(\mu, \sigma^2)$. Khẳng định nào sau đây là đúng về kỳ vọng $E(X)$?

96. Cho biến ngẫu nhiên $X$ có $E(X) = 5$ và $Var(X) = 4$. Tính kỳ vọng của biến ngẫu nhiên $Y = 3X + 2$.

97. Trong kiểm định giả thuyết thống kê, sai lầm loại I xảy ra khi nào?

98. Một biến ngẫu nhiên $X$ có phân phối Poisson với tham số $\lambda = 2$. Tính xác suất $P(X = 0)$.

99. Cho hai biến cố $A$ và $B$ bất kỳ. Công thức nào sau đây diễn đạt đúng xác suất có điều kiện của $A$ khi biết $B$ đã xảy ra (với $P(B) > 0$)?

100. Nếu hệ số tương quan tuyến tính giữa hai biến ngẫu nhiên $X$ và $Y$ là $r_{XY} = 1$, điều đó có nghĩa là gì?

101. Cho biến ngẫu nhiên $X$ có $Var(X) = 9$. Tính phương sai của biến ngẫu nhiên $Y = -2X + 10$.

102. Trong một nhà máy, máy A sản xuất 60% sản phẩm, máy B sản xuất 40% sản phẩm. Tỷ lệ phế phẩm của máy A là 2%, của máy B là 3%. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm, tính xác suất để đó là phế phẩm.

103. Một mẫu số liệu gồm các giá trị: 2, 4, 4, 5, 10. Hãy tìm số trung vị (Median) của mẫu số liệu này.

104. Cho biến ngẫu nhiên $X$ có hàm mật độ xác suất $f(x) = kx$ trên đoạn $[0, 2]$ và $f(x) = 0$ ở các nơi khác. Tìm giá trị của hằng số $k$.

105. Tính xác suất để trong 5 lần tung một đồng xu cân đối, có đúng 3 lần xuất hiện mặt ngửa.

106. Độ lệch chuẩn là chỉ số dùng để đo lường cái gì trong thống kê?

107. Khi kích thước mẫu $n$ tăng lên (trong khi các yếu tố khác không đổi), độ rộng của khoảng tin cậy cho giá trị trung bình sẽ thay đổi như thế nào?

108. Giả sử $X$ là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn $N(0, 1)$. Giá trị xác suất $P(X < 0)$ là bao nhiêu?

109. Một máy tính sinh ngẫu nhiên một số thực trong khoảng $[0, 10]$ theo phân phối đều. Tính xác suất để số đó lớn hơn 7.

110. Trong kiểm định giả thuyết, giá trị $p$ (p-value) là gì?

111. Cho $X$ là biến ngẫu nhiên có kỳ vọng $E(X) = 2$ và $E(X^2) = 8$. Tính phương sai $Var(X)$.

112. Một biến ngẫu nhiên liên tục $X$ có hàm mật độ $f(x)$. Xác suất tại một điểm cụ thể $P(X = c)$ luôn bằng bao nhiêu?

113. Nếu hai biến cố $A$ và $B$ xung khắc (rời nhau), thì $P(A \cap B)$ bằng bao nhiêu?

114. Cho biến ngẫu nhiên $X$ có phân phối nhị thức $B(n, p)$. Kỳ vọng $E(X)$ được tính bởi công thức nào?

115. Biến ngẫu nhiên $X$ có phân phối mũ (Exponential) với tham số $\lambda = 0,5$. Tính kỳ vọng $E(X)$.

116. Trong một mẫu dữ liệu, giá trị xuất hiện với tần suất lớn nhất được gọi là gì?

117. Định lý giới hạn trung tâm khẳng định rằng khi kích thước mẫu $n$ đủ lớn, phân phối của số trung bình mẫu sẽ xấp xỉ phân phối nào?

118. Nếu ta bác bỏ giả thuyết $H_0$ khi $p-value < \alpha$, điều này có nghĩa là gì?

119. Cho mẫu ngẫu nhiên kích thước $n$ từ quần thể có phương sai $\sigma^2$. Ước lượng không chệch cho phương sai quần thể (phương sai mẫu hiệu chỉnh $s^2$) được tính với mẫu số là bao nhiêu?

120. Mức ý nghĩa $\alpha$ trong kiểm định giả thuyết thường đại diện cho điều gì?

121. Cho hai biến cố $A$ và $B$ độc lập. Công thức nào sau đây là đúng?

122. Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất. Xác suất để mặt xuất hiện có số chấm là số nguyên tố là bao nhiêu?

123. Cho biến cố $A$ thỏa mãn $0 < P(A) < 1$. Khẳng định nào sau đây luôn đúng về biến cố đối $\overline{A}$?

124. Một hộp có 5 viên bi đỏ và 3 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 2 viên bi. Xác suất để cả 2 viên bi lấy ra đều màu đỏ là:

125. Đại lượng đặc trưng cho độ tập trung (vị trí trung tâm) của các giá trị của biến ngẫu nhiên là:

126. Cho biến ngẫu nhiên $X$ có kỳ vọng $E(X) = 2$. Tính kỳ vọng của biến ngẫu nhiên $Y = 3X + 5$.

127. Nếu biến ngẫu nhiên $X$ tuân theo phân phối nhị thức $B(n, p)$, thì phương sai $V(X)$ được tính theo công thức nào?

128. Xác suất để một xạ thủ bắn trúng mục tiêu là $0,8$. Người đó bắn 3 phát độc lập. Xác suất để xạ thủ đó bắn trúng đúng 2 phát là:

129. Trong phân phối chuẩn $N(\mu, \sigma^2)$, tham số $\sigma^2$ đại diện cho đại lượng nào sau đây?

130. Một biến ngẫu nhiên liên tục $X$ có hàm mật độ xác suất $f(x)$. Khẳng định nào sau đây về tích phân trên toàn trục số là đúng?

131. Cho $P(A) = 0,3$ và $P(B) = 0,4$. Nếu $A$ và $B$ là hai biến cố xung khắc thì $P(A \cup B)$ bằng:

132. Một đề thi trắc nghiệm có 20 câu, mỗi câu có 4 phương án trả lời. Một thí sinh chọn ngẫu nhiên các phương án. Số câu đúng trung bình mà thí sinh đạt được là:

133. Hệ số tương quan Pearson $r$ giữa hai biến ngẫu nhiên $X$ và $Y$ nhận giá trị trong đoạn nào?

134. Khi giữ nguyên độ tin cậy, nếu kích thước mẫu $n$ tăng lên thì độ dài của khoảng tin cậy cho kỳ vọng sẽ thay đổi như thế nào?

135. Trong kiểm định giả thuyết thống kê, sai lầm loại II xảy ra khi nào?

136. Cho mẫu số liệu: $1, 3, 5, 7, 9$. Phương sai mẫu hiệu chỉnh $s^2$ của mẫu này là:

137. Biến ngẫu nhiên $X$ tuân theo phân phối Poisson với tham số $\lambda = 2$. Xác suất $P(X=0)$ bằng:

138. Nếu phương sai của biến ngẫu nhiên $X$ là $V(X) = 9$, thì phương sai của biến ngẫu nhiên $Y = -2X + 5$ là:

139. Trong một lô hàng có 100 sản phẩm, xác suất gặp phế phẩm là $0,05$. Gọi $X$ là số phế phẩm khi kiểm tra 100 sản phẩm. $X$ tuân theo quy luật phân phối nào?

140. Giá trị của hàm mật độ xác suất $f(x)$ tại bất kỳ điểm $x$ nào luôn phải thỏa mãn điều kiện gì?

141. Trong kiểm định giả thuyết, nếu $p$-value bằng $0,02$ và mức ý nghĩa $\alpha = 0,05$, ta sẽ đưa ra quyết định gì?

142. Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên liên tục $X$ được tính bằng công thức nào dưới đây?

143. Công thức xác suất đầy đủ cho biến cố $A$ với hệ đầy đủ $\{B_1, B_2, …, B_n\}$ là:

144. Tìm số trung vị (Median) của dãy số liệu: $2, 8, 4, 10, 6$.

145. Cho biến ngẫu nhiên chuẩn tắc $Z \sim N(0, 1)$. Giá trị của $P(Z < 0)$ là:

146. Một nhà máy có 2 máy sản xuất. Máy 1 làm ra 70% sản phẩm, máy 2 làm ra 30%. Tỷ lệ phế phẩm của máy 1 là 5%, máy 2 là 10%. Chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm, xác suất nó là phế phẩm là:

147. Ước lượng không chệch cho phương sai tổng thể $\sigma^2$ là:

148. Một phân phối có hệ số nhọn (Kurtosis) âm thì hình dạng đồ thị so với phân phối chuẩn sẽ như thế nào?

149. Cho biến ngẫu nhiên $X$ có $E(X) = 4$ và $E(X^2) = 25$. Phương sai $V(X)$ bằng:

150. Nếu biến cố $A$ là tập con của biến cố $B$ ($A \subset B$), khẳng định nào sau đây là đúng?