150+ câu hỏi Trắc nghiệm Giải tích 3 online có đáp án

Ngày cập nhật: Tháng 2 6, 2026

Lưu ý và Miễn trừ trách nhiệm:Toàn bộ nội dung câu hỏi, đáp án và thông tin được cung cấp trên website này được xây dựng nhằm mục đích tham khảo, hỗ trợ ôn tập và củng cố kiến thức. Chúng tôi không cam kết về tính chính xác tuyệt đối, tính cập nhật hay độ tin cậy hoàn toàn của các dữ liệu này. Nội dung tại đây KHÔNG PHẢI LÀ ĐỀ THI CHÍNH THỨC của bất kỳ tổ chức giáo dục, trường đại học hay cơ quan cấp chứng chỉ nào. Người sử dụng tự chịu trách nhiệm khi sử dụng các thông tin này vào mục đích học tập, nghiên cứu hoặc áp dụng vào thực tiễn. Chúng tôi không chịu trách nhiệm pháp lý đối với bất kỳ sai sót, thiệt hại hoặc hậu quả nào phát sinh từ việc sử dụng thông tin trên website này.

Chào mừng bạn đến với bộ Trắc nghiệm Giải tích 3 online có đáp án. Bộ trắc nghiệm này giúp bạn hệ thống lại kiến thức một cách logic và dễ hiểu. Hãy chọn một bộ câu hỏi phía dưới để bắt đầu. Chúc bạn làm bài thuận lợi và thu được nhiều kiến thức mới

★★★★★

4.7/5 (156 đánh giá)

1. Sử dụng định lý Green để tính tích phân đường ∫C (x^2 – y^2) dx + 2xy dy, với C là đường tròn x^2 + y^2 = 1.

A. 0

B. π

C. 2π

D. 4π

2. Tính tích phân mặt ∫∫S F . dS, với F(x, y, z) = (x, y, z) và S là mặt cầu x^2 + y^2 + z^2 = 1.

A. 4π

B. π

C. 2π

D. 0

3. Cho hàm số f(x, y) = e^(x^2 + y^2). Tìm điểm dừng của hàm số này.

A. (0, 0)

B. (1, 1)

C. (1, -1)

D. (-1, -1)

4. Tính tích phân đường loại hai ∫C y dx + x dy, với C là đoạn thẳng nối (0, 0) đến (1, 1).

A. 1

B. 0

C. 2

D. -1

5. Cho trường vector F(x, y) = (y, -x). Tính div F.

A. 0

B. 2

C. -2

D. 1

6. Cho hàm số f(x, y) = x^2 + y^2. Tìm gradient của f tại điểm (1, 2).

A. (2, 4)

B. (1, 2)

C. (4, 2)

D. (2, 1)

7. Cho trường vector F(x, y, z) = (x, y, z). Tính rot F.

A. (0, 0, 0)

B. (1, 1, 1)

C. (0, 1, 0)

D. (1, 0, 0)

8. Tính tích phân bội hai của hàm f(x, y) = xy trên miền D giới hạn bởi 0 ≤ x ≤ 1 và 0 ≤ y ≤ 1.

A. 1/4

B. 1/2

C. 1

D. 2

9. Tính tích phân đường của hàm f(x, y) = x + y dọc theo đường cong C cho bởi r(t) = (t, t^2), 0 ≤ t ≤ 1.

A. 5/6

B. 1/2

C. 7/6

D. 3/2

10. Tính diện tích của miền D giới hạn bởi đường cong r(t) = (cos t, sin t), 0 ≤ t ≤ 2π.

A. π

B. 2π

C. 3π

D. 4π

11. Cho hàm số f(x, y, z) = xyz. Tính tích phân ∫∫∫V f(x, y, z) dV, với V là hình hộp 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 3.

A. 3

B. 6

C. 9

D. 12

12. Tìm cực trị của hàm số f(x, y) = x^2 + y^2 dưới điều kiện ràng buộc x + y = 1.

A. (1/2, 1/2)

B. (1, 0)

C. (0, 1)

D. (1, 1)

13. Định nghĩa nào sau đây là đúng về tích phân đường loại 1?

A. Tích phân đường loại 1 là tích phân của một hàm vô hướng dọc theo một đường cong.

B. Tích phân đường loại 1 là tích phân của một trường vector dọc theo một đường cong.

C. Tích phân đường loại 1 là tích phân của một hàm vô hướng trên một bề mặt.

D. Tích phân đường loại 1 là tích phân của một trường vector trên một bề mặt.

14. Tìm nghiệm của phương trình đạo hàm riêng sau: ∂^2u/∂x^2 + ∂^2u/∂y^2 = 0 (phương trình Laplace) với điều kiện biên u(0, y) = u(π, y) = 0.

A. u(x, y) = A sin(x) sinh(y)

B. u(x, y) = A cos(x) sinh(y)

C. u(x, y) = A sin(x) cosh(y)

D. u(x, y) = A cos(x) cosh(y)

15. Cho hàm số f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2. Tìm đạo hàm theo hướng của f tại điểm (1, 1, 1) theo hướng của vector v = (1, 1, 1).

A. 2√3

B. √3

C. 3√3

D. 6

16. Tính tích phân mặt ∫∫S x^2 dS, với S là mặt cầu x^2 + y^2 + z^2 = 1.

A. 4π/3

B. π/3

C. 2π/3

D. 4π

17. Trong không gian vector R^3, cho hai vector u = (1, 2, 3) và v = (4, 5, 6). Tính tích có hướng của u và v (u x v).

A. (-3, 6, -3)

B. (3, -6, 3)

C. (3, 6, 3)

D. (-3, -6, -3)

18. Cho hàm số f(x, y) = x^2y + xy^2. Tính đạo hàm hỗn hợp ∂^2f/∂x∂y.

A. 2x + 2y

B. x + y

C. 2x + y

D. x + 2y

19. Phát biểu nào sau đây là đúng về định lý Stokes?

A. Định lý Stokes liên hệ tích phân đường của một trường vector dọc theo một đường cong kín với tích phân mặt của curl của trường vector trên một bề mặt giới hạn bởi đường cong đó.

B. Định lý Stokes liên hệ tích phân mặt của một trường vector với tích phân đường của divergence của trường vector.

C. Định lý Stokes liên hệ tích phân đường của một trường vector với tích phân thể tích của divergence của trường vector.

D. Định lý Stokes liên hệ tích phân mặt của một trường vector với tích phân thể tích của curl của trường vector.

20. Tính tích phân ∫0^1 ∫x^1 sin(y^2) dy dx.

A. (1 – cos(1))/2

B. cos(1)/2

C. sin(1)/2

D. (1 + cos(1))/2

21. Cho trường vector F(x, y) = (P(x, y), Q(x, y)). Điều kiện nào sau đây là cần và đủ để F là trường vector bảo toàn?

A. ∂P/∂y = ∂Q/∂x

B. ∂P/∂x = ∂Q/∂y

C. P = Q

D. P = -Q

22. Cho trường vector F(x, y, z) = (2x, 2y, 2z). Tính công thực hiện bởi trường vector này khi di chuyển một hạt từ điểm (0, 0, 0) đến điểm (1, 1, 1) dọc theo đường thẳng.

A. 3

B. 1

C. 2

D. 0

23. Cho hàm số f(x, y) = x^3 + y^3 – 3xy. Tìm các điểm cực trị của hàm số này.

A. (0, 0) và (1, 1)

B. (0, 0) và (-1, -1)

C. (1, 0) và (0, 1)

D. (-1, 0) và (0, -1)

24. Tính diện tích bề mặt của hình trụ z = x^2 + y^2 với 0 ≤ z ≤ 1.

A. π

B. 2π

C. 3π

D. 4π

25. Phát biểu nào sau đây là đúng về định lý Divergence (Gauss)?

A. Định lý Divergence liên hệ tích phân mặt của một trường vector trên một bề mặt kín với tích phân thể tích của divergence của trường vector trong thể tích giới hạn bởi bề mặt đó.

B. Định lý Divergence liên hệ tích phân đường của một trường vector với tích phân mặt của curl của trường vector.

C. Định lý Divergence liên hệ tích phân đường của một trường vector với tích phân thể tích của divergence của trường vector.

D. Định lý Divergence liên hệ tích phân mặt của một trường vector với tích phân thể tích của curl của trường vector.

26. Cho hàm số f(x, y) = xy. Tìm vi phân toàn phần của f.

A. df = y dx + x dy

B. df = x dx + y dy

C. df = dx + dy

D. df = xy dx + xy dy

27. Cho hàm số f(x, y) = x^4 + y^4 – 4xy. Tìm các điểm dừng của hàm số.

A. (0, 0), (1, 1), (-1, -1)

B. (0, 0), (1, -1), (-1, 1)

C. (1, 1), (-1, -1)

D. (0, 0)

28. Định nghĩa nào sau đây là đúng về đạo hàm riêng của hàm số nhiều biến?

A. Đạo hàm riêng là đạo hàm của hàm số theo một biến, giữ các biến còn lại là hằng số.

B. Đạo hàm riêng là đạo hàm của hàm số theo tất cả các biến.

C. Đạo hàm riêng là tích phân của hàm số theo một biến.

D. Đạo hàm riêng là giới hạn của hàm số khi một biến tiến tới vô cùng.

29. Tính diện tích của hình elip x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1.

A. πab

B. πa^2

C. πb^2

D. 2πab

30. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất y” + 4y = 0.

A. y(x) = C1 cos(2x) + C2 sin(2x)

B. y(x) = C1 e^(2x) + C2 e^(-2x)

C. y(x) = C1 cos(4x) + C2 sin(4x)

D. y(x) = C1 e^(4x) + C2 e^(-4x)

31. Tích phân đường loại 2 ∫C P dx + Q dy được tính như thế nào nếu C được tham số hóa bởi r(t) = (x(t), y(t)), a ≤ t ≤ b?

A. ∫a^b P(x(t), y(t)) + Q(x(t), y(t)) dt

B. ∫a^b [P(x(t), y(t)) x'(t) + Q(x(t), y(t)) y'(t)] dt

C. ∫a^b [P(x'(t), y'(t)) x(t) + Q(x'(t), y'(t)) y(t)] dt

D. ∫a^b [P(x(t), y(t)) y'(t) + Q(x(t), y(t)) x'(t)] dt

32. Cho hàm số f(x, y, z). Đạo hàm theo hướng u của f tại điểm P được tính như thế nào?

A. ∇f · u

B. ∇f x u

C. ||∇f|| ||u||

D. ∇f + u

33. Trong định lý Divergence, mặt S và thể tích V có mối quan hệ như thế nào?

A. S là biên của V

B. V là biên của S

C. S và V không có mối quan hệ

D. S nằm trong V

34. Tích phân đường loại 1 của hàm f(x, y) trên đường cong C được tham số hóa bởi r(t) = (x(t), y(t)), a ≤ t ≤ b, được tính như thế nào?

A. ∫C f(x, y) ds = ∫a^b f(x(t), y(t)) dt

B. ∫C f(x, y) ds = ∫a^b f(x'(t), y'(t)) ||r'(t)|| dt

C. ∫C f(x, y) ds = ∫a^b f(x(t), y(t)) ||r'(t)|| dt

D. ∫C f(x, y) ds = ∫a^b f(x(t), y(t)) ||r(t)|| dt

35. Ý nghĩa hình học của curl của một trường vector tại một điểm là gì?

A. Đo lường độ phát xạ (nguồn) hoặc hấp thụ (hố) của trường vector tại điểm đó

B. Đo lường độ xoáy của trường vector tại điểm đó

C. Đo lường độ lớn của trường vector tại điểm đó

D. Đo lường hướng của trường vector tại điểm đó

36. Định lý Divergence (Gauss) liên hệ tích phân mặt với tích phân nào?

A. Tích phân kép

B. Tích phân bội ba

C. Tích phân mặt khác

D. Tích phân đường

37. Cho hàm số f(x, y) = x^3 + y^3 – 3xy. Tìm các điểm dừng của hàm số.

A. (0, 0) và (1, 1)

B. (0, 0) và (0, 1)

C. (1, 0) và (1, 1)

D. (0, 0) và (1, 0)

38. Tìm gradient của hàm số f(x, y, z) = xy + z^2 tại điểm (1, 1, 1).

A. (1, 1, 2)

B. (1, 2, 1)

C. (2, 1, 1)

D. (0, 0, 0)

39. Cho trường vector F(x, y) = (y, -x). Tính tích phân đường ∫C F · dr, trong đó C là đường tròn đơn vị x^2 + y^2 = 1, đi ngược chiều kim đồng hồ.

A. 0

B. 2π

C. -2π

D. π

40. Trong định lý Green, điều kiện nào sau đây là cần thiết để áp dụng định lý?

A. Đường cong C phải là đường cong kín, đơn giản và định hướng dương

B. Đường cong C phải là đường cong hở

C. Trường vector F phải là trường vector không

D. Miền D phải là miền không bị chặn

41. Tích phân mặt của trường vector F qua mặt S được ký hiệu là ∬S F · dS. dS ở đây đại diện cho gì?

A. Một vector pháp tuyến đơn vị

B. Một vector tiếp tuyến đơn vị

C. Một vector pháp tuyến có độ dài bằng diện tích vi phân

D. Một vector tiếp tuyến có độ dài bằng diện tích vi phân

42. Cho mặt S là hình cầu x^2 + y^2 + z^2 = 1. Tính diện tích của S.

A. π

B. 2π

C. 4π

D. 8π

43. Cho trường vector F và đường cong C. Tích phân đường loại 2 ∫C F · dr có ý nghĩa gì?

A. Công thực hiện bởi lực F để di chuyển một vật dọc theo đường cong C

B. Diện tích dưới đường cong C

C. Khối lượng của một dây có hình dạng C

D. Thể tích dưới bề mặt F

44. Trong định lý Stokes, mặt S và đường cong C có mối quan hệ như thế nào?

A. C là biên của S

B. S là biên của C

C. S và C không có mối quan hệ

D. S nằm trong C

45. Nếu curl F = 0, trường vector F được gọi là gì?

A. Trường vector không

B. Trường vector bảo toàn (conservative)

C. Trường vector solenoid

D. Trường vector đơn vị

46. Điều kiện nào sau đây là cần và đủ để hàm số f(x, y) đạt cực trị tại điểm (x0, y0)?

A. f’x(x0, y0) = 0 và f’y(x0, y0) = 0

B. f’x(x0, y0) = 0 hoặc f’y(x0, y0) = 0

C. f’x(x0, y0) = 0, f’y(x0, y0) = 0 và định thức Hesse tại (x0, y0) khác 0

D. f’x(x0, y0) = 0, f’y(x0, y0) = 0 và f”xx(x0, y0) * f”yy(x0, y0) – (f”xy(x0, y0))^2 > 0

47. Cho trường vector F(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)). Biểu thức nào sau đây là divergence của F?

A. ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z

B. ∂P/∂x + ∂Q/∂y – ∂R/∂z

C. ∂P/∂x – ∂Q/∂y + ∂R/∂z

D. ∂P/∂x – ∂Q/∂y – ∂R/∂z

48. Công thức Green liên hệ tích phân đường với tích phân nào?

A. Tích phân kép

B. Tích phân bội ba

C. Tích phân đường loại 1

D. Tích phân mặt

49. Định lý Stokes liên hệ tích phân đường với tích phân nào?

A. Tích phân kép

B. Tích phân bội ba

C. Tích phân mặt

D. Tích phân đường loại 1

50. Nếu F là một trường vector bảo toàn, thì tích phân đường ∫C F · dr có giá trị như thế nào?

A. Phụ thuộc vào đường đi C

B. Không phụ thuộc vào đường đi C, chỉ phụ thuộc vào điểm đầu và điểm cuối

C. Luôn bằng 0

D. Luôn bằng 1

51. Cho mặt S được tham số hóa bởi r(u, v). Diện tích của S được tính như thế nào?

A. ∬D ||ru x rv|| du dv

B. ∬D ru · rv du dv

C. ∬D ||ru + rv|| du dv

D. ∬D ru – rv du dv

52. Ý nghĩa hình học của divergence của một trường vector tại một điểm là gì?

A. Đo lường độ xoáy của trường vector tại điểm đó

B. Đo lường độ phát xạ (nguồn) hoặc hấp thụ (hố) của trường vector tại điểm đó

C. Đo lường độ lớn của trường vector tại điểm đó

D. Đo lường hướng của trường vector tại điểm đó

53. Cho hàm số f(x, y) và đường cong C. Tích phân đường loại 1 ∫C f(x, y) ds có ý nghĩa gì?

A. Diện tích dưới đường cong f(x, y)

B. Khối lượng của một dây có mật độ là f(x, y)

C. Độ dài của đường cong C

D. Thể tích dưới bề mặt f(x, y)

54. Cho mặt S là một mặt kín. Tích phân mặt ∬S F · dS đại diện cho gì?

A. Diện tích của mặt S

B. Thông lượng (flux) của trường vector F qua mặt S

C. Công thực hiện bởi lực F trên mặt S

D. Khối lượng của mặt S

55. Cho hàm số f(x, y) có các đạo hàm riêng cấp hai liên tục. Điều kiện nào sau đây đảm bảo rằng f có một điểm yên ngựa tại (x0, y0)?

A. f’x(x0, y0) = 0, f’y(x0, y0) = 0 và f”xx(x0, y0) * f”yy(x0, y0) – (f”xy(x0, y0))^2 > 0

B. f’x(x0, y0) = 0, f’y(x0, y0) = 0 và f”xx(x0, y0) * f”yy(x0, y0) – (f”xy(x0, y0))^2 < 0

C. f’x(x0, y0) = 0, f’y(x0, y0) = 0 và f”xx(x0, y0) > 0

D. f’x(x0, y0) = 0, f’y(x0, y0) = 0 và f”xx(x0, y0) < 0

56. Đường cong C được gọi là đường cong tham số hóa trơn (smooth parametrization) nếu điều gì xảy ra?

A. r'(t) liên tục và r'(t) ≠ 0

B. r'(t) liên tục

C. r'(t) = 0

D. r(t) = 0

57. Cho hàm số f(x, y) = x^2 + y^2. Tìm đạo hàm riêng của f theo x tại điểm (1, 2).

A. 2

B. 4

C. 1

D. 5

58. Điều kiện nào sau đây đảm bảo rằng trường vector F là trường bảo toàn?

A. curl F = 0

B. div F = 0

C. F = 0

D. F là hằng số

59. Nếu div F = 0, trường vector F được gọi là gì?

A. Trường vector không

B. Trường vector bảo toàn (conservative)

C. Trường vector solenoid

D. Trường vector đơn vị

60. Cho trường vector F(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)). Biểu thức nào sau đây là curl của F?

A. (∂R/∂y – ∂Q/∂z, ∂P/∂z – ∂R/∂x, ∂Q/∂x – ∂P/∂y)

B. (∂R/∂y + ∂Q/∂z, ∂P/∂z + ∂R/∂x, ∂Q/∂x + ∂P/∂y)

C. (∂R/∂y – ∂Q/∂z, ∂P/∂z + ∂R/∂x, ∂Q/∂x – ∂P/∂y)

D. (∂R/∂y – ∂Q/∂z, ∂P/∂z – ∂R/∂x, ∂Q/∂x + ∂P/∂y)

61. Tính diện tích bề mặt của hình trụ x^2 + y^2 = 1, với 0 ≤ z ≤ 2.

A. 4π

B. 2π

C. 8π

D. π

62. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong r = 2cos(θ) trong tọa độ cực.

A. π

B. 2π

C. π/2

D. 4π

63. Tính tích phân ∫_C (x^2 + y^2) ds, với C là đoạn thẳng từ (0, 0) đến (1, 1).

A. 2√2/3

B. √2/3

C. 4√2/3

D. √2

64. Trong không gian R^3, tìm khoảng cách từ điểm (1, 2, 3) đến mặt phẳng x + y + z = 0.

A. 2√3

B. √3

C. 3√3

D. √3/3

65. Tính tích phân đường loại 1 của hàm f(x, y) = x + y trên đường cong C là đoạn thẳng nối điểm (0, 0) đến (1, 1).

A. √2

B. 2√2

C. 3√2/2

D. √2/2

66. Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân y” + y = sin(x).

A. y = -xcos(x)/2

B. y = xcos(x)/2

C. y = -xsin(x)/2

D. y = xsin(x)/2

67. Tính tích phân đường loại 2 ∫_C y dx + x dy, với C là đường tròn đơn vị x^2 + y^2 = 1 theo chiều dương.

A. 0

B. π

C. 2π

D. -π

68. Cho hàm số f(x, y, z) = xyz. Tìm đạo hàm theo hướng của f tại điểm (1, 1, 1) theo hướng của vectơ v = (1, 1, 1).

A. √3

B. 3

C. √3/3

D. 1/3

69. Trong không gian vectơ R^3, vectơ nào sau đây là tổ hợp tuyến tính của hai vectơ u = (1, 0, 1) và v = (0, 1, 1)?

A. (2, 2, 3)

B. (1, 1, 0)

C. (3, 2, 1)

D. (1, -1, 1)

70. Cho hàm số f(x, y) = e^(x^2 + y^2). Tìm vectơ gradient của hàm số này tại điểm (1, 1).

A. (2e^2, 2e^2)

B. (e^2, e^2)

C. (2e, 2e)

D. (e, e)

71. Tìm cực trị của hàm số f(x, y) = x^2 + y^2 dưới điều kiện x + y = 1.

A. Cực tiểu tại (1/2, 1/2)

B. Cực đại tại (1/2, 1/2)

C. Cực tiểu tại (1, 0)

D. Cực đại tại (1, 0)

72. Cho trường vectơ F(x, y) = (y, -x). Tính công thực hiện bởi trường vectơ này khi di chuyển một hạt dọc theo đường tròn đơn vị x^2 + y^2 = 1 theo chiều dương.

A. -2π

B. 2π

C. π

D. -π

73. Trong không gian R^3, phương trình nào sau đây biểu diễn một mặt cầu?

A. x^2 + y^2 + z^2 – 2x + 4y – 6z = 0

B. x^2 + y^2 – z = 1

C. x^2 – y^2 + z^2 = 1

D. x^2 + y^2 = 1

74. Trong không gian R^3, mặt phẳng nào sau đây song song với mặt phẳng 2x – y + 3z = 5?

A. 4x – 2y + 6z = 10

B. 2x + y – 3z = 5

C. -2x + y – 3z = 5

D. x – y + z = 5

75. Cho chuỗi hàm ∑(x^n)/n^2. Tìm miền hội tụ của chuỗi này.

A. [-1, 1]

B. (-1, 1)

C. (-∞, ∞)

D. (-1, 1]

76. Cho phương trình vi phân y” – 4y’ + 4y = 0. Nghiệm tổng quát của phương trình này là:

A. y = C_1e^(2x) + C_2xe^(2x)

B. y = C_1e^(2x) + C_2e^(-2x)

C. y = C_1cos(2x) + C_2sin(2x)

D. y = C_1e^(-2x) + C_2xe^(-2x)

77. Tính diện tích của miền D giới hạn bởi y = x và y = x^2.

A. 1/6

B. 1/3

C. 1/2

D. 2/3

78. Chuỗi lũy thừa ∑(x^n)/n! có bán kính hội tụ là:

A. ∞

B. 0

C. 1

D. e

79. Tính tích phân bội ba ∫∫∫_V dV, với V là hình hộp chữ nhật 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 3.

A. 6

B. 1

C. 2

D. 3

80. Cho trường vectơ F(x, y, z) = (x, y, z). Tính divergence của trường vectơ này.

A. 3

B. 0

C. 1

D. x + y + z

81. Cho phương trình vi phân y’ + 2y = e^(-2x). Tìm nghiệm của phương trình này với điều kiện y(0) = 1.

A. y = (x + 1)e^(-2x)

B. y = xe^(-2x)

C. y = e^(-2x)

D. y = (x – 1)e^(-2x)

82. Cho hàm số f(x, y) = x^2y + xy^2. Đạo hàm riêng cấp hai hỗn hợp f_{xy} là:

A. 2x + 2y

B. x^2 + y^2

C. 2y

D. 2x

83. Cho phương trình vi phân y” + 2y’ + y = 0. Nghiệm tổng quát của phương trình này là:

A. y = C_1e^(-x) + C_2xe^(-x)

B. y = C_1e^x + C_2e^(-x)

C. y = C_1cos(x) + C_2sin(x)

D. y = C_1e^(-x) + C_2e^x

84. Trong các khẳng định sau về chuỗi số, khẳng định nào đúng?

A. Nếu chuỗi ∑a_n hội tụ thì lim a_n = 0.

B. Nếu lim a_n = 0 thì chuỗi ∑a_n hội tụ.

C. Nếu chuỗi ∑a_n phân kỳ thì lim a_n = 0.

D. Nếu chuỗi ∑a_n hội tụ tuyệt đối thì nó phân kỳ.

85. Cho hàm số f(x, y) = x^3 + y^3. Tìm vi phân toàn phần của hàm số này.

A. df = 3x^2dx + 3y^2dy

B. df = x^2dx + y^2dy

C. df = 3x^2 + 3y^2

D. df = x^3dx + y^3dy

86. Cho hàm số f(x, y) = x^3 + y^3 – 3xy. Điểm dừng của hàm số này là:

A. (0, 0) và (1, 1)

B. (0, 1) và (1, 0)

C. (0, 0) và (-1, -1)

D. (1, 1) và (-1, -1)

87. Cho miền D được giới hạn bởi các đường y = x^2 và y = 4. Tính tích phân kép ∫∫_D dA.

A. 32/3

B. 16/3

C. 64/3

D. 8/3

88. Đường cong nào sau đây có độ cong bằng 0 tại mọi điểm?

A. Đường thẳng

B. Đường tròn

C. Parabol

D. Elip

89. Cho hàm số f(x, y) = x^2 + 4y^2. Tìm giá trị nhỏ nhất của f trên đường tròn x^2 + y^2 = 1.

A. 1

B. 4

C. 0

D. 2

90. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑(n!x^n).

A. 0

B. 1

C. ∞

D. e

91. Công thức nào sau đây dùng để tính moment quán tính của một vật thể có khối lượng riêng ρ(x, y, z) đối với trục z?

A. ∭V (x^2 + y^2)ρ(x, y, z) dV

B. ∭V z^2 ρ(x, y, z) dV

C. ∭V (x^2 + z^2)ρ(x, y, z) dV

D. ∭V (y^2 + z^2)ρ(x, y, z) dV

92. Cho hàm f(x, y, z), gradient của f tại một điểm là một vectơ có hướng như thế nào?

A. Hướng tăng nhanh nhất của f

B. Hướng giảm nhanh nhất của f

C. Hướng tiếp tuyến với mặt mức của f

D. Hướng vuông góc với mặt mức của f

93. Công thức nào sau đây là công thức đổi biến trong tích phân kép?

A. ∫∫f(x, y) dxdy = ∫∫f(r cosθ, r sinθ) r drdθ

B. ∫∫f(x, y) dxdy = ∫∫f(r cosθ, r sinθ) drdθ

C. ∫∫f(x, y) dxdy = ∫∫f(r, θ) r drdθ

D. ∫∫f(x, y) dxdy = ∫∫f(r, θ) drdθ

94. Điều kiện nào sau đây đảm bảo một trường vectơ là trường gradient?

A. Curl của trường vectơ bằng 0

B. Divergence của trường vectơ bằng 0

C. Trường vectơ liên tục

D. Trường vectơ khả vi

95. Công thức nào sau đây biểu diễn định lý Stokes?

A. ∮C F · dr = ∬S (curl F) · dS

B. ∮C F · dr = ∭V (div F) dV

C. ∬S F · dS = ∭V (curl F) dV

D. ∬S F · dS = ∮C (div F) · dr

96. Công thức nào sau đây dùng để tính khối tâm của một vật thể có khối lượng riêng ρ(x, y, z)?

A. (∭V xρ dV/M, ∭V yρ dV/M, ∭V zρ dV/M), với M là khối lượng của vật thể

B. (∭V x dV/V, ∭V y dV/V, ∭V z dV/V), với V là thể tích của vật thể

C. (∭V x^2 ρ dV/M, ∭V y^2 ρ dV/M, ∭V z^2 ρ dV/M)

D. (∭V xρ dV, ∭V yρ dV, ∭V zρ dV)

97. Điều kiện nào sau đây đảm bảo sự tồn tại của tích phân Riemann?

A. Hàm số bị chặn và liên tục hầu khắp

B. Hàm số đơn điệu

C. Hàm số liên tục

D. Hàm số bị chặn

98. Định lý Green liên hệ tích phân đường với loại tích phân nào?

A. Tích phân mặt

B. Tích phân bội ba

C. Tích phân kép

D. Tích phân đơn

99. Trong giải tích vectơ, curl của một trường vectơ đo đại lượng nào?

A. Mức độ xoáy của trường vectơ

B. Mức độ phân kỳ của trường vectơ

C. Độ lớn của trường vectơ

D. Hướng của trường vectơ

100. Trong tọa độ trụ, yếu tố thể tích dV được biểu diễn như thế nào?

A. r dz dr dθ

B. r^2 sin(θ) dr dθ dφ

C. dx dy dz

D. dr dθ dz

101. Trong tích phân đường loại 2, ý nghĩa vật lý của tích phân ∫C F · dr là gì?

A. Công thực hiện bởi lực F dọc theo đường cong C

B. Lưu lượng của trường vectơ F qua đường cong C

C. Độ dài của đường cong C

D. Diện tích giới hạn bởi đường cong C

102. Công thức nào sau đây được sử dụng để tính diện tích hình phẳng trong tọa độ cực?

A. ∬ r dr dθ

B. ∬ r^2 dr dθ

C. ∬ dr dθ

D. ∬ r sin(θ) dr dθ

103. Cho mặt S được tham số hóa bởi r(u, v), vectơ pháp tuyến của mặt S được tính như thế nào?

A. ru × rv

B. ru · rv

C. ru + rv

D. ru – rv

104. Trong tích phân mặt, vectơ pháp tuyến đơn vị n thường được chọn như thế nào?

A. Hướng ra ngoài mặt

B. Hướng vào trong mặt

C. Song song với trục z

D. Vuông góc với trục z

105. Để tính diện tích mặt S cho bởi z = f(x, y), ta sử dụng công thức nào?

A. ∬S √(1 + (∂f/∂x)^2 + (∂f/∂y)^2) dA

B. ∬S (∂f/∂x + ∂f/∂y) dA

C. ∬S f(x, y) dA

D. ∬S √(f(x, y)) dA

106. Công thức nào sau đây biểu diễn mối liên hệ giữa tích phân đường loại 1 và tích phân đường loại 2?

A. ∫C f ds = ∫C f(r(t)) |r'(t)| dt

B. ∫C f ds = ∫C f(r(t)) r'(t) dt

C. ∫C f ds = ∫C |r'(t)| dt

D. ∫C f ds = ∫C r'(t) dt

107. Nếu F là một trường vectơ bảo toàn và f là hàm thế của nó, thì tích phân đường ∫C F · dr bằng gì?

A. f(B) – f(A), với A và B là điểm đầu và cuối của đường cong C

B. 0

C. Độ dài của đường cong C

D. Diện tích giới hạn bởi đường cong C

108. Nếu một trường vectơ F có divergence bằng 0, thì trường vectơ đó được gọi là gì?

A. Trường vectơ solenoid

B. Trường vectơ bảo toàn

C. Trường vectơ gradient

D. Trường vectơ dừng

109. Điều kiện nào sau đây là cần và đủ để một trường vectơ F là bảo toàn trên một miền liên thông D?

A. curl F = 0

B. div F = 0

C. F là liên tục

D. F là khả vi

110. Cho miền D được giới hạn bởi các đường cong C1 và C2, tích phân kép trên miền D có thể được tính như thế nào?

A. Bằng cách chia miền D thành các miền nhỏ hơn và tính tổng các tích phân trên các miền đó

B. Bằng cách tính tích phân đường trên các đường cong C1 và C2

C. Bằng cách tính đạo hàm riêng của hàm số dưới dấu tích phân

D. Bằng cách sử dụng định lý Green

111. Cho trường vectơ F = (P, Q, R), divergence của F được định nghĩa như thế nào?

A. ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z

B. ∂P/∂x + ∂Q/∂y – ∂R/∂z

C. ∂P/∂x – ∂Q/∂y + ∂R/∂z

D. ∂P/∂x – ∂Q/∂y – ∂R/∂z

112. Trong tọa độ cầu, yếu tố diện tích dS trên mặt cầu bán kính ρ được biểu diễn như thế nào?

A. ρ^2 sin(φ) dθ dφ

B. ρ dθ dφ

C. ρ^2 dθ dφ

D. sin(φ) dθ dφ

113. Tính chất nào sau đây không đúng với tích phân bội?

A. Tính tuyến tính

B. Tính cộng tính trên miền lấy tích phân

C. Tính chất giá trị trung bình

D. Tính bất biến đối với phép quay

114. Công thức nào sau đây biểu diễn định lý Gauss (định lý phân kỳ)?

A. ∬S F · dS = ∭V (div F) dV

B. ∮C F · dr = ∬S (curl F) · dS

C. ∮C F · dr = ∭V (div F) dV

D. ∬S F · dS = ∮C (curl F) · dr

115. Trong giải tích 3, tích phân bội ba được sử dụng để tính đại lượng nào sau đây?

A. Diện tích bề mặt

B. Độ dài đường cong

C. Thể tích của một vật thể trong không gian

D. Diện tích của một hình phẳng

116. Định lý nào sau đây liên hệ giữa tích phân mặt của curl của một trường vectơ và tích phân đường của trường vectơ đó?

A. Định lý Stokes

B. Định lý Green

C. Định lý Gauss

D. Định lý Ostrogradsky

117. Ý nghĩa hình học của Jacobian trong phép đổi biến tích phân bội là gì?

A. Tỷ lệ thay đổi diện tích hoặc thể tích giữa hai hệ tọa độ

B. Độ dài của đường cong

C. Góc giữa hai vectơ

D. Độ dốc của một mặt

118. Trong tích phân bội ba, khi nào thì việc chuyển sang tọa độ cầu là phù hợp nhất?

A. Khi miền lấy tích phân có dạng hình cầu hoặc gần hình cầu

B. Khi miền lấy tích phân có dạng hình trụ

C. Khi miền lấy tích phân là một hình hộp chữ nhật

D. Khi hàm số dưới dấu tích phân chứa các biểu thức tuyến tính

119. Điều kiện nào sau đây là đủ để áp dụng định lý Green?

A. P và Q có đạo hàm riêng liên tục trên miền D và biên C của D là đường cong kín, trơn từng khúc

B. P và Q liên tục trên miền D

C. P và Q khả vi trên miền D

D. P và Q bị chặn trên miền D

120. Cho trường vectơ F = (P, Q), khi nào thì tích phân đường ∫C P dx + Q dy không phụ thuộc vào đường đi?

A. ∂P/∂y = ∂Q/∂x

B. ∂P/∂x = ∂Q/∂y

C. P = Q

D. P = -Q

121. Định nghĩa nào sau đây mô tả chính xác nhất về ma trận Jacobi của một hàm vector?

A. Ma trận chứa các đạo hàm riêng cấp hai của hàm vector.

B. Ma trận chứa các đạo hàm riêng cấp một của hàm vector.

C. Ma trận chuyển vị của gradient của hàm vector.

D. Ma trận nghịch đảo của ma trận Hessian.

122. Công thức Green liên hệ tích phân đường với tích phân nào?

A. Tích phân ba lớp

B. Tích phân kép

C. Tích phân đường loại 2

D. Tích phân mặt

123. Tích phân nào sau đây dùng để tính thể tích của một vật thể E trong không gian R^3?

A. ∫∫∫E dV

B. ∫∫∂E dS

C. ∫∫∫E f(x, y, z) dV

D. ∫∂E F · n dS

124. Cho hàm số f(x, y, z). Gradient của hàm số này tại một điểm cho ta thông tin gì?

A. Hướng mà hàm số giảm nhanh nhất.

B. Độ lớn của sự thay đổi lớn nhất của hàm số.

C. Hướng mà hàm số tăng nhanh nhất và độ lớn của sự thay đổi lớn nhất của hàm số.

D. Hướng mà hàm số không thay đổi.

125. Định nghĩa nào sau đây là đúng nhất về divergence của một trường vector F?

A. Đo lường độ xoáy của trường vector tại một điểm.

B. Đo lường xu hướng hội tụ hoặc phân kỳ của trường vector tại một điểm.

C. Một vector chỉ hướng mà trường vector tăng nhanh nhất.

D. Tích phân của trường vector trên một bề mặt.

126. Trong không gian R^3, cho đường thẳng có phương trình tham số x = 1 + t, y = 2 – t, z = 3 + 2t. Vector chỉ phương của đường thẳng này là vector nào?

A. (1, 2, 3)

B. (1, -1, 2)

C. (1, -1, 0)

D. (0, 0, 0)

127. Định nghĩa nào sau đây mô tả đúng nhất về tích phân đường loại 1 của một hàm vô hướng f(x, y) trên đường cong C?

A. Tích phân của f(x, y) dọc theo đường cong C theo biến thời gian.

B. Tích phân của f(x, y) dọc theo đường cong C theo độ dài cung.

C. Tích phân của gradient của f(x, y) dọc theo đường cong C.

D. Tích phân của f(x, y) dọc theo đường cong C theo hướng của vector pháp tuyến.

128. Cho miền D được giới hạn bởi các đường y = x^2 và y = 4. Tính diện tích của miền D.

A. 8/3

B. 16/3

C. 32/3

D. 64/3

129. Trong không gian R^3, cho hai vector u = (1, 2, 3) và v = (4, 5, 6). Tính tích có hướng của u và v.

A. (-3, 6, -3)

B. (3, -6, 3)

C. (0, 0, 0)

D. (1, 1, 1)

130. Trong không gian R^3, phương trình nào sau đây biểu diễn một mặt phẳng đi qua điểm (1, 2, 3) và vuông góc với vector (4, 5, 6)?

A. 4x + 5y + 6z = 0

B. x + 2y + 3z = 4x + 5y + 6z

C. 4(x – 1) + 5(y – 2) + 6(z – 3) = 0

D. (x – 4) + 2(y – 5) + 3(z – 6) = 0

131. Trong tích phân bội, thứ tự tích phân có thể thay đổi được trong điều kiện nào?

A. Luôn luôn có thể thay đổi.

B. Chỉ khi hàm số là liên tục.

C. Khi miền tích phân là hình chữ nhật.

D. Khi hàm số và miền tích phân thỏa mãn các điều kiện của định lý Fubini.

132. Cho trường vector F(x, y) = (x^2, y^2). Tính tích phân đường loại 2 của F dọc theo đoạn thẳng từ (0, 0) đến (1, 1).

A. 0

B. 1

C. 2/3

D. 1/3

133. Công thức Gauss (Divergence Theorem) liên hệ tích phân nào với nhau?

A. Tích phân đường và tích phân mặt.

B. Tích phân mặt và tích phân thể tích.

C. Tích phân đường và tích phân thể tích.

D. Tích phân kép và tích phân ba lớp.

134. Cho hàm số f(x, y) và điểm (a, b). Để xác định cực trị của hàm số này, ta xét định thức D = fxx(a, b)fyy(a, b) – (fxy(a, b))^2. Nếu D < 0 thì kết luận gì?

A. (a, b) là điểm cực đại.

B. (a, b) là điểm cực tiểu.

C. (a, b) là điểm yên ngựa.

D. Không thể kết luận về cực trị.

135. Trong không gian R^3, phương trình nào sau đây biểu diễn một mặt cầu có tâm tại gốc tọa độ và bán kính bằng 5?

A. x + y + z = 5

B. x^2 + y^2 + z^2 = 5

C. x^2 + y^2 + z^2 = 25

D. x^2 – y^2 – z^2 = 25

136. Cho hàm số f(x, y) = xy. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số này trên miền D: x^2 + y^2 ≤ 1.

A. 0

B. 1

C. 1/2

D. -1/2

137. Cho trường vector F(x, y) = (y, -x). Tính tích phân đường của F dọc theo đường tròn đơn vị x^2 + y^2 = 1, lấy theo chiều dương.

A. 0

B. π

C. 2π

D. -2π

138. Công thức Stokes liên hệ tích phân mặt với tích phân nào?

A. Tích phân ba lớp

B. Tích phân kép

C. Tích phân đường

D. Tích phân thể tích

139. Cho hàm số f(x, y) = x^2 + y^2. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số này trên đường tròn x^2 + y^2 = 1.

A. 0

B. 1

C. 2

D. Không tồn tại

140. Trong không gian vector, điều kiện nào sau đây là cần và đủ để một tập hợp các vector là độc lập tuyến tính?

A. Tồn tại một tổ hợp tuyến tính khác không của các vector cho kết quả là vector không.

B. Mọi tổ hợp tuyến tính của các vector đều khác vector không.

C. Tồn tại một vector trong tập hợp có thể biểu diễn tuyến tính qua các vector còn lại.

D. Tổ hợp tuyến tính duy nhất của các vector cho kết quả là vector không là khi tất cả các hệ số đều bằng không.

141. Định nghĩa nào sau đây mô tả đúng nhất về tích phân mặt loại 2 của một trường vector F trên một mặt S?

A. Tích phân của độ lớn của F trên S.

B. Tích phân của thành phần pháp tuyến của F trên S.

C. Tích phân của tiếp tuyến của F trên S.

D. Tích phân của divergence của F trên S.

142. Cho hàm số f(x, y) có các đạo hàm riêng cấp hai liên tục. Điều kiện nào sau đây đảm bảo rằng (a, b) là một điểm cực tiểu địa phương của f?

A. fxx(a, b) > 0 và fyy(a, b) > 0

B. fxx(a, b) < 0 và fyy(a, b) < 0

C. fxx(a, b)fyy(a, b) – (fxy(a, b))^2 > 0 và fxx(a, b) > 0

D. fxx(a, b)fyy(a, b) – (fxy(a, b))^2 0

143. Trong giải tích vector, curl của một trường vector đo đại lượng nào?

A. Độ lớn của dòng chảy qua một bề mặt.

B. Độ xoáy của trường vector tại một điểm.

C. Hướng mà trường vector tăng nhanh nhất.

D. Độ lớn của trường vector.

144. Cho trường vector F(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)). Điều kiện nào sau đây là cần và đủ để F là trường vector bảo toàn?

A. ∂P/∂x = ∂Q/∂y = ∂R/∂z

B. ∂P/∂y = ∂Q/∂x, ∂P/∂z = ∂R/∂x, ∂Q/∂z = ∂R/∂y

C. ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z = 0

D. ∂P/∂x = ∂Q/∂y = ∂R/∂z = 0

145. Trong không gian R^3, tích có hướng của hai vector cho ta một vector như thế nào?

A. Song song với cả hai vector ban đầu.

B. Nằm trong mặt phẳng chứa hai vector ban đầu.

C. Vuông góc với cả hai vector ban đầu.

D. Có độ dài bằng tổng độ dài của hai vector ban đầu.

146. Cho hàm số f(x, y) = x^3 + y^3 – 3xy. Điểm dừng của hàm số này là nghiệm của hệ phương trình nào?

A. ∂f/∂x = 3x^2 – 3y = 0 và ∂f/∂y = 3y^2 – 3x = 0

B. ∂f/∂x = 3x^2 + 3y = 0 và ∂f/∂y = 3y^2 + 3x = 0

C. ∂f/∂x = x^2 – y = 0 và ∂f/∂y = y^2 – x = 0

D. ∂f/∂x = 3x^2 – 3y = 0 và ∂f/∂y = 3y^2 + 3x = 0

147. Cho trường vector F(x, y) = (P(x, y), Q(x, y)). Điều kiện nào sau đây là cần để F là trường vector bảo toàn?

A. ∂P/∂x = ∂Q/∂y

B. ∂P/∂y = ∂Q/∂x

C. ∂P/∂x = -∂Q/∂y

D. ∂P/∂y = -∂Q/∂x

148. Trong không gian R^3, cho hai mặt phẳng có phương trình lần lượt là x + y + z = 1 và 2x + 2y + 2z = 2. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng này là gì?

A. Song song và trùng nhau.

B. Song song và không trùng nhau.

C. Cắt nhau tại một đường thẳng.

D. Vuông góc với nhau.

149. Cho trường vector F(x, y, z) = (x, y, z). Tính divergence của trường vector này.

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

150. Tích phân nào sau đây được sử dụng để tính diện tích bề mặt của một mặt z = f(x, y) trên miền D trong mặt phẳng xy?

A. ∬D √(1 + (∂f/∂x)^2 – (∂f/∂y)^2) dA

B. ∬D (∂f/∂x + ∂f/∂y) dA

C. ∬D √(1 + (∂f/∂x)^2 + (∂f/∂y)^2) dA

D. ∬D (1 + (∂f/∂x)^2 + (∂f/∂y)^2) dA

HƯỚNG DẪN TÌM MẬT KHẨU