1. Khi nào thì tích của hai ma trận đối xứng cũng là một ma trận đối xứng?
A. Luôn luôn.
B. Khi và chỉ khi hai ma trận giao hoán.
C. Khi và chỉ khi một trong hai ma trận là ma trận đơn vị.
D. Không bao giờ.
2. Cho A là ma trận vuông. Phát biểu nào sau đây KHÔNG đúng về ma trận trực giao?
A. Các cột của ma trận trực giao là trực chuẩn.
B. Các hàng của ma trận trực giao là trực chuẩn.
C. Định thức của ma trận trực giao bằng 1 hoặc -1.
D. Ma trận trực giao không nhất thiết khả nghịch.
3. Phép biến đổi tuyến tính nào sau đây bảo toàn tích trong?
A. Phép chiếu.
B. Phép quay.
C. Phép co giãn.
D. Phép biến đổi ma trận tam giác.
4. Vector riêng của một ma trận là gì?
A. Một vector không thay đổi hướng khi nhân với ma trận.
B. Một vector trở thành vector không khi nhân với ma trận.
C. Một vector vuông góc với tất cả các vector khác.
D. Một vector có độ dài bằng 1.
5. Cho hai vector u và v. Khi nào thì tích vô hướng của u và v bằng 0?
A. Khi và chỉ khi u và v cùng hướng.
B. Khi và chỉ khi u và v ngược hướng.
C. Khi và chỉ khi u và v vuông góc với nhau.
D. Khi và chỉ khi u hoặc v là vector không.
6. Cho ma trận A có các cột là độc lập tuyến tính. Điều gì có thể được kết luận về nghiệm của phương trình Ax = 0?
A. Phương trình có vô số nghiệm.
B. Phương trình không có nghiệm.
C. Phương trình có nghiệm duy nhất là x = 0.
D. Phương trình có nghiệm duy nhất là x = 1.
7. Cho A là ma trận vuông. Khi nào thì A và A^T có cùng giá trị riêng?
A. A là ma trận đường chéo.
B. A là ma trận khả nghịch.
C. A là ma trận đối xứng.
D. A luôn luôn có cùng giá trị riêng với A^T.
8. Giá trị riêng của ma trận A là gì?
A. Các vector khác không v thỏa mãn Av = λv.
B. Các số vô hướng λ thỏa mãn Av = λv.
C. Các vector v thỏa mãn Av = 0.
D. Các số vô hướng λ thỏa mãn A – λI = 0.
9. Cho hai ma trận A và B có cùng kích thước. Khi nào thì (A + B)^T = A^T + B^T?
A. Luôn luôn.
B. Chỉ khi A = B.
C. Chỉ khi A và B là ma trận vuông.
D. Không bao giờ.
10. Cho T: R^n -> R^m là một biến đổi tuyến tính. Khi nào thì T là toàn ánh?
A. Khi và chỉ khi im(T) = R^m.
B. Khi và chỉ khi ker(T) = {0}.
C. Khi và chỉ khi n = m.
D. Khi và chỉ khi T là đơn ánh.
11. Cho ma trận A vuông cấp n. Điều kiện nào sau đây là ĐỦ để A khả nghịch?
A. det(A) = 0
B. A có ít nhất một hàng hoặc cột bằng không.
C. Hệ phương trình tuyến tính Ax = 0 có nghiệm duy nhất.
D. A có một giá trị riêng bằng 0.
12. Điều gì xảy ra với các giá trị riêng của ma trận A khi bạn nhân A với một hằng số c?
A. Các giá trị riêng không thay đổi.
B. Các giá trị riêng được nhân với c.
C. Các giá trị riêng được chia cho c.
D. Các giá trị riêng trở thành lũy thừa bậc c.
13. Cho A là ma trận vuông. Điều gì xảy ra với các giá trị riêng của A khi bạn cộng một hằng số c vào tất cả các phần tử trên đường chéo chính của A?
A. Các giá trị riêng không thay đổi.
B. Các giá trị riêng được cộng thêm c.
C. Các giá trị riêng được trừ đi c.
D. Các giá trị riêng được nhân với c.
14. Trong không gian vector, một cơ sở là gì?
A. Một tập hợp các vector bao trùm không gian.
B. Một tập hợp các vector độc lập tuyến tính.
C. Một tập hợp các vector vừa độc lập tuyến tính vừa bao trùm không gian.
D. Một tập hợp các vector vuông góc với nhau.
15. Cho A là ma trận vuông cấp n và có n giá trị riêng phân biệt. Phát biểu nào sau đây đúng?
A. A không chéo hóa được.
B. A chéo hóa được và có n vector riêng độc lập tuyến tính.
C. A có thể không chéo hóa được tùy thuộc vào các giá trị riêng.
D. A là ma trận đơn vị.
16. Trong không gian vector, một tổ hợp tuyến tính của các vector là gì?
A. Tổng của các vector.
B. Tích của các vector.
C. Tổng của các bội số vô hướng của các vector.
D. Một tập hợp các vector vuông góc với nhau.
17. Trong không gian vector, điều kiện nào sau đây KHÔNG đảm bảo một tập hợp các vector là độc lập tuyến tính?
A. Không có vector nào trong tập hợp là tổ hợp tuyến tính của các vector còn lại.
B. Tất cả các vector trong tập hợp đều khác vector không.
C. Phương trình tổ hợp tuyến tính của các vector trong tập hợp bằng vector không chỉ có nghiệm tầm thường.
D. Định thức của ma trận tạo bởi các vector này (nếu là ma trận vuông) khác không.
18. Cho T là một phép biến đổi tuyến tính từ V vào W. Phát biểu nào sau đây KHÔNG đúng?
A. T(0_V) = 0_W
B. T(u + v) = T(u) + T(v) với mọi u, v thuộc V.
C. T(cu) = cT(u) với mọi u thuộc V và mọi số vô hướng c.
D. T(V) luôn là một không gian con của V.
19. Cho A là ma trận vuông. Điều kiện nào sau đây là cần và đủ để A là ma trận xác định dương?
A. Tất cả các giá trị riêng của A đều dương.
B. Tất cả các giá trị riêng của A đều âm.
C. det(A) > 0.
D. A là ma trận đối xứng.
20. Cho A là ma trận vuông. Khi nào thì A khả nghịch?
A. Khi và chỉ khi det(A) = 0.
B. Khi và chỉ khi det(A) ≠ 0.
C. Khi và chỉ khi A là ma trận đơn vị.
D. Khi và chỉ khi A là ma trận đối xứng.
21. Cho T: V -> W là biến đổi tuyến tính. Khi nào thì T là đơn ánh?
A. Khi và chỉ khi ker(T) = {0}.
B. Khi và chỉ khi im(T) = W.
C. Khi và chỉ khi T là toàn ánh.
D. Khi và chỉ khi V = W.
22. Cho A là ma trận vuông. Ma trận nào sau đây có cùng không gian cột với A?
A. A^T
B. A^{-1}
C. A^2
D. rref(A)
23. Cho hai không gian con U và V của không gian vector W. Khi nào thì U ∪ V là một không gian con của W?
A. Luôn luôn.
B. Không bao giờ.
C. Khi và chỉ khi U ⊆ V hoặc V ⊆ U.
D. Khi và chỉ khi U ∩ V = {0}.
24. Cho V là không gian vector hữu hạn chiều. Số chiều của V là gì?
A. Số lượng các vector trong V.
B. Số lượng các không gian con của V.
C. Số lượng các vector độc lập tuyến tính tối đa trong V.
D. Số lượng tất cả các cơ sở của V.
25. Định nghĩa nào sau đây KHÔNG phải là một cách để mô tả hạng của một ma trận?
A. Số chiều của không gian cột của ma trận.
B. Số chiều của không gian hàng của ma trận.
C. Số lượng các cột độc lập tuyến tính tối đa của ma trận.
D. Số lượng các hàng bằng không của ma trận.
26. Cho A là ma trận vuông. Phát biểu nào sau đây là tương đương với việc A là ma trận trực giao?
A. A^T = A
B. A^T = -A
C. A^T = A^{-1}
D. det(A) = 0
27. Cho A là ma trận vuông. Phát biểu nào sau đây là SAI về giá trị riêng của A?
A. Tổng các giá trị riêng của A bằng vết của A.
B. Tích các giá trị riêng của A bằng định thức của A.
C. Nếu λ là giá trị riêng của A thì λ^2 là giá trị riêng của A^2.
D. Nếu A khả nghịch thì 0 là một giá trị riêng của A.
28. Cho A là ma trận vuông cấp n. Khi nào thì A có thể chéo hóa được?
A. Khi và chỉ khi A có n giá trị riêng phân biệt.
B. Khi và chỉ khi A là ma trận đối xứng.
C. Khi và chỉ khi A có n vector riêng độc lập tuyến tính.
D. Khi và chỉ khi A khả nghịch.
29. Cho A và B là hai ma trận vuông cùng cấp. Khi nào thì det(AB) = det(A)det(B)?
A. Luôn luôn.
B. Chỉ khi A = B.
C. Chỉ khi A hoặc B là ma trận đơn vị.
D. Không bao giờ.
30. Cho A là ma trận vuông. Điều gì xảy ra với định thức của A khi hai hàng của A được đổi chỗ?
A. Định thức không thay đổi.
B. Định thức đổi dấu.
C. Định thức trở thành 0.
D. Định thức được nhân với 2.
31. Cho phép biến đổi tuyến tính T: V → W. Khi nào T là một đơn ánh?
A. Khi ker(T) = {0}.
B. Khi im(T) = W.
C. Khi ker(T) ≠ {0}.
D. Khi im(T) ≠ W.
32. Cho A là ma trận vuông cấp n. Số chiều của không gian nghiệm của A cộng với hạng của A bằng:
A. 0
B. n
C. 1
D. m, với A là ma trận m x n
33. Cho A là ma trận vuông. Điều kiện nào sau đây tương đương với việc A khả nghịch?
A. Hệ phương trình Ax = 0 có vô số nghiệm.
B. Hệ phương trình Ax = b không có nghiệm với mọi b.
C. Hệ phương trình Ax = 0 chỉ có nghiệm tầm thường.
D. Các cột của A phụ thuộc tuyến tính.
34. Cho A và B là hai ma trận vuông cùng cấp. Khi nào thì AB = BA?
A. Luôn đúng với mọi A và B.
B. Chỉ đúng khi A hoặc B là ma trận đơn vị.
C. Chỉ đúng khi A và B là ma trận khả nghịch.
D. Không nhất thiết đúng, chỉ đúng trong một số trường hợp đặc biệt.
35. Cho T: Rⁿ → Rᵐ là một biến đổi tuyến tính. Khi nào T được gọi là đẳng cấu tuyến tính?
A. Khi T là một đơn ánh.
B. Khi T là một toàn ánh.
C. Khi T vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh.
D. Khi T là biến đổi không.
36. Trong không gian vector R³, cho hai vector u = (1, 2, 3) và v = (4, 5, 6). Tính tích có hướng u x v.
A. (-3, 6, -3)
B. (3, -6, 3)
C. (0, 0, 0)
D. (1, 1, 1)
37. Phát biểu nào sau đây là đúng về không gian con?
A. Không gian con phải chứa vector không.
B. Không gian con không được chứa vector không.
C. Không gian con có thể không đóng với phép cộng vector.
D. Không gian con có thể không đóng với phép nhân vô hướng.
38. Cho ma trận A = [[1, 2], [3, 4]]. Tìm ma trận nghịch đảo của A.
A. [[2, -1], [-3/2, 1/2]]
B. [[-2, 1], [3/2, -1/2]]
C. [[-2, 1.5], [1, -0.5]]
D. [[-2, 1], [-1.5, 0.5]]
39. Cho A là ma trận vuông cấp n. Phát biểu nào sau đây là đúng về vector riêng của A?
A. Vector riêng của A là vector không.
B. Vector riêng của A phải trực giao với tất cả các vector khác.
C. Vector riêng của A là vector khác không v sao cho Av = λv với λ là một số.
D. Vector riêng của A là nghiệm của hệ Ax = b.
40. Điều kiện nào sau đây là cần và đủ để một ma trận vuông A khả nghịch?
A. det(A) = 0
B. det(A) ≠ 0
C. A có ít nhất một hàng bằng 0
D. A có tất cả các phần tử bằng 0
41. Cho T: R² → R² là một phép biến đổi tuyến tính được định nghĩa bởi T(x, y) = (x + y, x – y). Ma trận biểu diễn của T đối với cơ sở chính tắc là:
A. [[1, 1], [1, -1]]
B. [[1, -1], [1, 1]]
C. [[1, 0], [0, 1]]
D. [[0, 1], [1, 0]]
42. Cho ma trận A kích thước m x n. Không gian nghiệm của A là gì?
A. Tập hợp tất cả các vector x sao cho Ax = 0.
B. Tập hợp tất cả các vector b sao cho Ax = b có nghiệm.
C. Tập hợp tất cả các cột của A.
D. Tập hợp tất cả các hàng của A.
43. Cho hai ma trận A và B cùng kích thước. Khi nào thì (A + B)T = AT + BT?
A. Luôn đúng với mọi ma trận A và B.
B. Chỉ đúng khi A và B là ma trận vuông.
C. Chỉ đúng khi A và B là ma trận khả nghịch.
D. Không bao giờ đúng.
44. Trong không gian vector, một tập hợp các vector được gọi là độc lập tuyến tính khi nào?
A. Khi một vector trong tập hợp có thể được viết dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vector còn lại.
B. Khi tất cả các vector trong tập hợp đều là vector không.
C. Khi tổ hợp tuyến tính của các vector bằng vector không chỉ khi tất cả các hệ số đều bằng không.
D. Khi tất cả các vector trong tập hợp đều trực giao với nhau.
45. Cho A là ma trận vuông. Khi nào A đồng dạng với ma trận đường chéo?
A. Khi A có các giá trị riêng thực.
B. Khi A có các giá trị riêng phức.
C. Khi A có đủ số lượng vector riêng độc lập tuyến tính.
D. Khi A là ma trận khả nghịch.
46. Cho không gian con W của không gian vector V. Phần bù trực giao của W là gì?
A. Tập hợp tất cả các vector trong V vuông góc với mọi vector trong W.
B. Tập hợp tất cả các vector trong W.
C. Tập hợp tất cả các vector không trong V.
D. Tập hợp tất cả các vector trong V.
47. Cho A là ma trận vuông cấp n. Trace của A được định nghĩa là gì?
A. Tổng các phần tử trên đường chéo chính của A.
B. Tổng các phần tử trên đường chéo phụ của A.
C. Định thức của A.
D. Hạng của A.
48. Cho V là không gian vector và u, v ∈ V. Khi nào thì u và v độc lập tuyến tính?
A. Khi tồn tại các số c₁, c₂ không đồng thời bằng 0 sao cho c₁u + c₂v = 0.
B. Khi c₁u + c₂v = 0 chỉ khi c₁ = c₂ = 0.
C. Khi u = kv với k là một số.
D. Khi u và v trực giao.
49. Cho hệ phương trình tuyến tính Ax = b. Khi nào hệ có nghiệm duy nhất?
A. Khi rank(A) < rank([A|b]).
B. Khi rank(A) = rank([A|b]) và bằng số ẩn.
C. Khi rank(A) > rank([A|b]).
D. Khi rank(A) = rank([A|b]) và nhỏ hơn số ẩn.
50. Cho cơ sở B = {v₁, v₂, …, vn} của không gian vector V. Điều gì làm cho B trở thành một cơ sở?
A. B phải là một tập hợp các vector phụ thuộc tuyến tính.
B. B phải là một tập hợp sinh của V và độc lập tuyến tính.
C. B phải chứa tất cả các vector trong V.
D. B phải là một tập hợp trực giao.
51. Cho A là ma trận vuông cấp n. Phát biểu nào sau đây về hạng của ma trận A là đúng?
A. rank(A) > n
B. rank(A) ≤ n
C. rank(A) luôn bằng n
D. rank(A) < 0
52. Định nghĩa nào sau đây về không gian cột của ma trận A là đúng?
A. Không gian cột của A là tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của các hàng của A.
B. Không gian cột của A là tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của các cột của A.
C. Không gian cột của A là tập hợp tất cả các nghiệm của Ax = 0.
D. Không gian cột của A là tập hợp tất cả các vector riêng của A.
53. Cho A là ma trận vuông cấp n. Khi nào thì A là ma trận trực giao?
A. Khi AT = A.
B. Khi AT = -A.
C. Khi AT = A⁻¹.
D. Khi det(A) = 0.
54. Cho A là ma trận vuông cấp n. Khi nào thì A chéo hóa được?
A. Khi A có n giá trị riêng phân biệt.
B. Khi A có ít hơn n giá trị riêng.
C. Khi A là ma trận đơn vị.
D. Khi A là ma trận không.
55. Cho A là ma trận vuông. Phát biểu nào sau đây là đúng về định thức của A?
A. Nếu A có hai hàng giống nhau thì det(A) ≠ 0.
B. Nếu A có một hàng toàn số 0 thì det(A) = 0.
C. det(AT) = -det(A).
D. det(kA) = k*det(A) với k là một số thực.
56. Giá trị riêng của ma trận A là gì?
A. Là các vector khác không v thỏa mãn Av = λv với λ là một số.
B. Là các số λ thỏa mãn det(A – λI) = 0, với I là ma trận đơn vị.
C. Là các vector v thỏa mãn Av = 0.
D. Là các nghiệm của phương trình Ax = b.
57. Cho không gian vector V và W. Phép biến đổi tuyến tính T: V → W là một toàn ánh khi nào?
A. Khi ảnh của T bằng V.
B. Khi ảnh của T bằng W.
C. Khi hạt nhân của T chỉ chứa vector không.
D. Khi T là một song ánh.
58. Định nghĩa nào sau đây là đúng về tích vô hướng của hai vector u và v?
A. Là một vector.
B. Là một ma trận.
C. Là một số thực.
D. Là một tập hợp.
59. Phát biểu nào sau đây là đúng về tính trực giao của các vector?
A. Hai vector trực giao khi và chỉ khi tích vô hướng của chúng bằng 1.
B. Hai vector trực giao khi và chỉ khi tích vô hướng của chúng bằng 0.
C. Hai vector trực giao khi và chỉ khi chúng song song.
D. Hai vector trực giao khi và chỉ khi chúng cùng phương.
60. Cho hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Ax = 0. Điều kiện nào sau đây đảm bảo hệ có nghiệm duy nhất?
A. det(A) = 0
B. det(A) ≠ 0
C. Số ẩn lớn hơn số phương trình
D. Số phương trình lớn hơn số ẩn
61. Trong không gian vector R^n, chuẩn Euclid của vector x = (x1, x2, …, xn) được định nghĩa là gì?
A. √(x1^2 + x2^2 + … + xn^2)
B. |x1| + |x2| + … + |xn|
C. max{|x1|, |x2|, …, |xn|}
D. x1 + x2 + … + xn
62. Cho A là ma trận vuông cấp n. Điều kiện nào sau đây là điều kiện cần và đủ để A là ma trận phản đối xứng?
A. A = A^T
B. A = -A^T
C. A^2 = I
D. det(A) = 1
63. Cho A là ma trận vuông cấp n. Khi nào thì A được gọi là ma trận unita?
A. A* = A^{-1}
B. A = A*
C. A = -A*
D. A^2 = I
64. Trong không gian vector R^3, tích có hướng của hai vector u và v được ký hiệu là u x v. Tính chất nào sau đây luôn đúng?
A. u x v = v x u
B. u x v = – (v x u)
C. u x v = 0
D. u x v song song với cả u và v
65. Khi nào thì một tập hợp các vector được gọi là độc lập tuyến tính?
A. Khi tổ hợp tuyến tính của chúng bằng vector 0 chỉ khi tất cả các hệ số đều bằng 0
B. Khi tổ hợp tuyến tính của chúng bằng vector 0 với ít nhất một hệ số khác 0
C. Khi chúng tạo thành một cơ sở của không gian vector
D. Khi chúng vuông góc với nhau
66. Ma trận nào sau đây luôn khả nghịch?
A. Ma trận vuông có định thức bằng 0
B. Ma trận vuông có các hàng tỉ lệ với nhau
C. Ma trận đường chéo với tất cả các phần tử trên đường chéo khác 0
D. Ma trận có một hàng toàn số 0
67. Cho A là ma trận vuông cấp n. Khi nào thì A được gọi là ma trận Hermite?
A. A = A*
B. A = -A*
C. A* = A^{-1}
D. A^2 = I
68. Cho A là ma trận vuông cấp n. Định nghĩa nào sau đây về hạng của ma trận A là chính xác nhất?
A. Số lượng các hàng khác không trong dạng bậc thang rút gọn của A
B. Số lượng các cột của A
C. Số lượng các hàng của A
D. Định thức của A
69. Cho một phép biến đổi tuyến tính T: V -> W. Ảnh (image) của T, ký hiệu im(T), được định nghĩa là gì?
A. {T(v) | v ∈ V}
B. {v ∈ V | T(v) = 0}
C. V
D. W
70. Cho A là ma trận vuông cấp n. Giá trị riêng của A là gì?
A. Là các giá trị λ sao cho det(A – λI) = 0, với I là ma trận đơn vị cấp n
B. Là các giá trị λ sao cho det(A – λI) ≠ 0, với I là ma trận đơn vị cấp n
C. Là các vector v sao cho Av = λv
D. Là các vector v sao cho Av = 0
71. Cho A là ma trận vuông cấp n. Điều kiện nào sau đây là điều kiện cần và đủ để A là ma trận đối xứng?
A. A = A^T
B. A = -A^T
C. A^2 = I
D. det(A) = 1
72. Cho A là ma trận vuông cấp n. Vector riêng của A là gì?
A. Là các vector v khác 0 sao cho Av = λv, với λ là giá trị riêng của A
B. Là các vector v sao cho Av = 0
C. Là các vector v sao cho det(A – λI) = 0
D. Là các vector v sao cho Av = v
73. Cho hệ phương trình tuyến tính Ax = b. Khi nào hệ phương trình này có nghiệm duy nhất?
A. Khi hạng của ma trận A bằng số ẩn và bằng hạng của ma trận bổ sung [A|b]
B. Khi hạng của ma trận A nhỏ hơn số ẩn
C. Khi hạng của ma trận A lớn hơn số ẩn
D. Khi b là vector 0
74. Cho V là không gian vector con của R^n. Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. V luôn chứa vector 0
B. V không thể chứa vector 0
C. V chỉ chứa hữu hạn vector
D. V phải trùng với R^n
75. Cho W là không gian con của không gian vector V. Bổ chính trực giao của W, ký hiệu là W⊥, được định nghĩa như thế nào?
A. W⊥ = {v ∈ V | = 0 với mọi w ∈ W}
B. W⊥ = {w ∈ W | = 0 với mọi v ∈ V}
C. W⊥ = {0}
D. W⊥ = V
76. Cho hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Ax = 0. Tập hợp tất cả các nghiệm của hệ này tạo thành gì?
A. Một không gian vector
B. Một tập hợp rỗng
C. Một điểm
D. Một đường thẳng
77. Cho A là ma trận vuông cấp n. Khi nào thì A được gọi là ma trận lũy linh (nilpotent)?
A. Khi tồn tại số nguyên dương k sao cho A^k = 0
B. Khi A = I
C. Khi A = 0
D. Khi det(A) = 0
78. Cho hai vector u và v trong không gian vector Euclid. Tích vô hướng của u và v được ký hiệu là . Tính chất nào sau đây luôn đúng?
A. =
B. = –
C. = 0
D. = ||u|| * ||v||
79. Cho A là ma trận vuông cấp n. Hạng của A (rank(A)) là gì?
A. Số chiều của không gian cột của A
B. Số chiều của không gian hàng của A
C. Số lượng các cột độc lập tuyến tính của A
D. Tất cả các đáp án trên
80. Cho một phép biến đổi tuyến tính T: V -> W. Hạt nhân (kernel) của T, ký hiệu ker(T), được định nghĩa là gì?
A. {v ∈ V | T(v) = 0}
B. {w ∈ W | T(v) = w với mọi v ∈ V}
C. V
D. W
81. Cho A là ma trận vuông cấp n. vết (trace) của A được định nghĩa là gì?
A. Tổng các phần tử trên đường chéo chính của A
B. Tích các phần tử trên đường chéo chính của A
C. Định thức của A
D. Tổng các giá trị riêng của A
82. Cho A là ma trận vuông cấp n. Điều kiện nào sau đây là điều kiện cần và đủ để A khả nghịch?
A. det(A) = 0
B. det(A) ≠ 0
C. A có ít nhất một hàng hoặc một cột là vector 0
D. A là ma trận tam giác với tất cả các phần tử trên đường chéo bằng 0
83. Cho A là ma trận vuông cấp n. Khi nào thì A được gọi là ma trận idempotent?
A. Khi A^2 = A
B. Khi A^2 = I
C. Khi A = 0
D. Khi det(A) = 0
84. Cho A là ma trận vuông cấp n. Khi nào thì A được gọi là ma trận trực giao?
A. Khi A^T = A
B. Khi A^T = A^{-1}
C. Khi A^2 = I
D. Khi det(A) = 1
85. Cho A là ma trận vuông cấp n. Khi nào thì A được gọi là ma trận phản Hermite?
A. A = A*
B. A = -A*
C. A* = A^{-1}
D. A^2 = I
86. Cho T là một phép biến đổi tuyến tính từ R^n vào R^m. Khi nào thì T được gọi là đơn ánh?
A. Nếu T(u) = T(v) với mọi u, v thuộc R^n
B. Nếu T(u) = T(v) suy ra u = v với mọi u, v thuộc R^n
C. Nếu T(u) = 0 với mọi u thuộc R^n
D. Nếu T(u) ≠ T(v) với mọi u ≠ v thuộc R^n
87. Cho A và B là hai ma trận vuông cùng cấp. Phát biểu nào sau đây về định thức là đúng?
A. det(A + B) = det(A) + det(B)
B. det(AB) = det(A)det(B)
C. det(A – B) = det(A) – det(B)
D. det(A/B) = det(A)/det(B)
88. Trong không gian vector R^n, khoảng cách Euclid giữa hai vector x và y được định nghĩa là gì?
A. ||x – y||
B. ||x + y||
C. ||x|| + ||y||
D. ||x|| – ||y||
89. Cho A là ma trận vuông cấp n. Khi nào thì A được gọi là ma trận involutory?
A. Khi A^2 = I
B. Khi A^2 = A
C. Khi A = 0
D. Khi det(A) = 0
90. Cho A là ma trận vuông cấp n. Điều kiện nào sau đây là điều kiện cần và đủ để A chéo hóa được?
A. A có n giá trị riêng phân biệt
B. Tổng số chiều của các không gian riêng của A bằng n
C. A là ma trận đối xứng
D. Tất cả các đáp án trên
91. Cho A là ma trận vuông. Khi nào thì A là ma trận xác định dương?
A. Khi tất cả các giá trị riêng của A đều dương.
B. Khi tất cả các giá trị riêng của A đều âm.
C. Khi định thức của A bằng 0.
D. Khi A là ma trận trực giao.
92. Cho T: V -> W là một ánh xạ tuyến tính. Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. T(0_V) = 1_W.
B. T(0_V) = 0_W.
C. T(1_V) = 0_W.
D. T(1_V) = 1_W.
93. Phát biểu nào sau đây là đúng về không gian hàng của ma trận?
A. Không gian hàng và không gian cột luôn có cùng số chiều.
B. Không gian hàng luôn trùng với không gian nghiệm.
C. Không gian hàng luôn trực giao với không gian cột.
D. Không gian hàng luôn là không gian con của không gian cột.
94. Cho A và B là hai ma trận vuông cùng cấp. Khi nào thì (A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2?
A. Luôn đúng với mọi A và B.
B. Khi A và B giao hoán được (AB = BA).
C. Khi A = B.
D. Khi A và B là ma trận đường chéo.
95. Cho A là ma trận vuông khả nghịch. Ma trận nghịch đảo của A là gì?
A. Một ma trận mà khi cộng với A sẽ cho ma trận 0.
B. Một ma trận mà khi nhân với A sẽ cho ma trận đơn vị.
C. Một ma trận có tất cả các phần tử là nghịch đảo của các phần tử của A.
D. Một ma trận có định thức bằng 0.
96. Cho A là ma trận vuông cấp n. Phát biểu nào sau đây là đúng về định thức của A?
A. det(A) luôn dương.
B. det(A) = det(A^T).
C. det(A) luôn bằng 0.
D. det(A) = -det(A^T).
97. Trong không gian vectơ các đa thức, khi nào thì một tập hợp các đa thức là độc lập tuyến tính?
A. Khi tất cả các đa thức đều có cùng bậc.
B. Khi không có đa thức nào là tổ hợp tuyến tính của các đa thức còn lại.
C. Khi tất cả các đa thức đều có hệ số dương.
D. Khi tất cả các đa thức đều có nghiệm thực.
98. Phát biểu nào sau đây là đúng về tích của hai ma trận trực giao?
A. Luôn là ma trận đơn vị.
B. Luôn là ma trận trực giao.
C. Luôn là ma trận đường chéo.
D. Luôn là ma trận suy biến.
99. Cho T là một biến đổi tuyến tính từ V vào W. Khi nào thì T là một đơn ánh?
A. Khi ker(T) = {0}.
B. Khi im(T) = W.
C. Khi dim(V) = dim(W).
D. Khi T là toàn ánh.
100. Cho A là ma trận vuông cấp n. Khi nào thì A là ma trận lũy linh?
A. Khi A^2 = A.
B. Khi A^k = 0 với một số nguyên dương k.
C. Khi A^T = A.
D. Khi A^{-1} = A.
101. Ứng dụng nào sau đây không phải là ứng dụng của Đại số tuyến tính?
A. Mật mã học.
B. Đồ họa máy tính.
C. Dự báo thời tiết.
D. Nấu ăn.
102. Phép biến đổi tuyến tính nào sau đây bảo toàn khoảng cách giữa các vectơ?
A. Phép chiếu.
B. Phép quay.
C. Phép co giãn.
D. Phép biến đổi ma trận suy biến.
103. Cho A là ma trận vuông. Khi nào thì A là ma trận phản đối xứng?
A. Khi A^T = A.
B. Khi A^T = -A.
C. Khi A^{-1} = A.
D. Khi A^{-1} = -A.
104. Trong không gian vectơ V, cơ sở của V là gì?
A. Một tập hợp các vectơ sinh ra V nhưng không độc lập tuyến tính.
B. Một tập hợp các vectơ độc lập tuyến tính nhưng không sinh ra V.
C. Một tập hợp các vectơ vừa độc lập tuyến tính vừa sinh ra V.
D. Một tập hợp các vectơ trực giao.
105. Định nghĩa nào sau đây là đúng về phép chiếu trực giao của vectơ u lên vectơ v?
A. Một vectơ song song với u.
B. Một vectơ vuông góc với u.
C. Một vectơ song song với v, gần u nhất.
D. Một vectơ vuông góc với v, gần u nhất.
106. Định nghĩa nào sau đây là chính xác nhất về hạng của ma trận?
A. Số lượng hàng của ma trận.
B. Số lượng cột của ma trận.
C. Số lượng hàng khác không tối đa trong dạng bậc thang của ma trận.
D. Tổng các phần tử trên đường chéo chính.
107. Định nghĩa nào sau đây mô tả đúng nhất về không gian cột của ma trận A?
A. Tập hợp tất cả các nghiệm của hệ Ax = 0.
B. Tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của các cột của A.
C. Tập hợp tất cả các hàng của A.
D. Tập hợp tất cả các vectơ riêng của A.
108. Ma trận trực giao là ma trận như thế nào?
A. Ma trận có tất cả các phần tử bằng 0 hoặc 1.
B. Ma trận vuông có các cột là các vectơ trực chuẩn.
C. Ma trận có định thức bằng 0.
D. Ma trận có các hàng là bội số của nhau.
109. Cho T là một biến đổi tuyến tính. Điều kiện nào sau đây đảm bảo T là một đẳng cấu?
A. T là đơn ánh.
B. T là toàn ánh.
C. T vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh.
D. T là ánh xạ không.
110. Điều kiện nào sau đây là cần và đủ để một ma trận vuông A có thể chéo hóa được?
A. A phải khả nghịch.
B. Tổng số chiều của các không gian riêng của A phải bằng cấp của A.
C. Tất cả các giá trị riêng của A phải khác nhau.
D. A phải là ma trận đối xứng.
111. Trong không gian vectơ V, khi nào thì một tập hợp các vectơ được gọi là sinh ra V?
A. Khi tập hợp đó độc lập tuyến tính.
B. Khi mọi vectơ trong V đều có thể biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ trong tập hợp đó.
C. Khi tập hợp đó chứa vectơ không.
D. Khi tập hợp đó là hữu hạn.
112. Cho hai vectơ u và v. Khi nào thì tích vô hướng của u và v bằng 0?
A. Khi u và v song song.
B. Khi u và v cùng hướng.
C. Khi u và v vuông góc.
D. Khi u hoặc v là vectơ không.
113. Giá trị riêng của ma trận là gì?
A. Các vectơ không gian con.
B. Các giá trị mà định thức của (A – λI) bằng 0.
C. Các vectơ mà khi nhân với ma trận sẽ cho ra vectơ 0.
D. Các giá trị trên đường chéo chính của ma trận.
114. Cho hai không gian con U và W của không gian vectơ V. Khi nào thì tổng U + W là tổng trực tiếp?
A. Khi U ∩ W = {0}.
B. Khi U = W.
C. Khi U và W trực giao.
D. Khi U ∪ W = V.
115. Phát biểu nào sau đây là đúng về không gian nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất?
A. Luôn là tập rỗng.
B. Luôn là một không gian con.
C. Luôn là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ.
D. Luôn là một mặt phẳng đi qua gốc tọa độ.
116. Phép biến đổi tuyến tính nào sau đây không làm thay đổi diện tích (trong không gian 2D) hoặc thể tích (trong không gian 3D)?
A. Phép co giãn với hệ số lớn hơn 1.
B. Phép chiếu.
C. Phép quay.
D. Phép biến đổi có định thức bằng 0.
117. Cho v là một vectơ khác không. Khi nào thì tập hợp {v} là độc lập tuyến tính?
A. Luôn luôn.
B. Không bao giờ.
C. Khi v là vectơ đơn vị.
D. Khi v trực giao với chính nó.
118. Hệ phương trình tuyến tính nào sau đây có nghiệm duy nhất?
A. Hệ có số phương trình ít hơn số ẩn.
B. Hệ có số phương trình nhiều hơn số ẩn.
C. Hệ có định thức của ma trận hệ số khác 0.
D. Hệ có tất cả các phương trình đều phụ thuộc tuyến tính.
119. Định nghĩa nào sau đây mô tả đúng nhất về không gian con?
A. Một tập hợp các vectơ trong không gian vectơ, đóng với phép cộng vectơ và phép nhân với một số vô hướng.
B. Một tập hợp các vectơ độc lập tuyến tính.
C. Một tập hợp các vectơ sinh ra toàn bộ không gian vectơ.
D. Một tập hợp các vectơ trực giao.
120. Ma trận nào sau đây không thể chéo hóa được?
A. Ma trận có các giá trị riêng phân biệt.
B. Ma trận đối xứng.
C. Ma trận có ít nhất một giá trị riêng phức.
D. Ma trận có một giá trị riêng và số chiều của không gian riêng tương ứng nhỏ hơn bội số đại số của giá trị riêng đó.
121. Cho A là ma trận vuông cấp n. A được gọi là ma trận trực giao nếu:
A. A = A^T.
B. A = -A^T.
C. AA^T = I.
D. A^2 = I.
122. Hạng của ma trận là gì?
A. Số hàng của ma trận.
B. Số cột của ma trận.
C. Số chiều của không gian cột của ma trận.
D. Định thức của ma trận.
123. Trong không gian vector R^3, tích có hướng của hai vector độc lập tuyến tính là một vector như thế nào?
A. Song song với cả hai vector.
B. Vuông góc với cả hai vector.
C. Nằm trong mặt phẳng chứa hai vector.
D. Bằng vector không.
124. Cho A là ma trận vuông. Tổng các giá trị riêng của A (tính cả bội) bằng:
A. Định thức của A.
B. Trace của A.
C. Hạng của A.
D. 0.
125. Cho hệ phương trình tuyến tính Ax = b. Hệ có nghiệm khi và chỉ khi:
A. Hạng(A) = Hạng([A|b]).
B. Hạng(A) < Hạng([A|b]).
C. Hạng(A) > Hạng([A|b]).
D. det(A) ≠ 0.
126. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz phát biểu rằng:
A. |u.v| ≤ ||u|| + ||v||.
B. |u.v| ≤ ||u||.||v||.
C. |u.v| ≥ ||u||.||v||.
D. |u.v| = ||u||.||v||.
127. Định thức của ma trận vuông có tính chất nào sau đây?
A. Định thức của ma trận chuyển vị bằng định thức của ma trận ban đầu.
B. Định thức của ma trận chuyển vị bằng nghịch đảo của định thức của ma trận ban đầu.
C. Định thức của ma trận chuyển vị bằng đối của định thức của ma trận ban đầu.
D. Định thức của ma trận chuyển vị bằng 0.
128. Số chiều của không gian vector V là gì?
A. Số vector trong V.
B. Số chiều của không gian con của V.
C. Số vector trong cơ sở của V.
D. Số vector độc lập tuyến tính trong V.
129. Trong không gian vector R^n, tích vô hướng của hai vector u = (u1, u2, …, un) và v = (v1, v2, …, vn) được tính như thế nào?
A. u1v1 + u2v2 + … + unvn.
B. u1 + v1 + u2 + v2 + … + un + vn.
C. (u1 – v1)^2 + (u2 – v2)^2 + … + (un – vn)^2.
D. √(u1^2 + u2^2 + … + un^2) * √(v1^2 + v2^2 + … + vn^2).
130. Cho A là ma trận vuông. Tích các giá trị riêng của A (tính cả bội) bằng:
A. Định thức của A.
B. Trace của A.
C. Hạng của A.
D. 0.
131. Cho hai vector u và v trong không gian vector. Khi nào thì ||u + v|| = ||u|| + ||v||?
A. u và v vuông góc.
B. u và v cùng hướng.
C. u và v ngược hướng.
D. u hoặc v là vector không.
132. Cơ sở của không gian vector V là gì?
A. Một tập hợp các vector sinh ra V.
B. Một tập hợp các vector độc lập tuyến tính trong V.
C. Một tập hợp các vector độc lập tuyến tính sinh ra V.
D. Một tập hợp các vector vuông góc với nhau.
133. Cho A và B là hai ma trận vuông cùng cấp. Tính chất nào sau đây về trace là đúng?
A. tr(A + B) = tr(A) + tr(B).
B. tr(AB) = tr(A)tr(B).
C. tr(A – B) = tr(A) – tr(B).
D. tr(A^T) = -tr(A).
134. Không gian con của không gian vector V là gì?
A. Một tập hợp bất kỳ các vector trong V.
B. Một tập hợp con của V đóng kín dưới phép cộng vector và phép nhân với скаляр.
C. Toàn bộ không gian V.
D. Tập hợp chỉ chứa vector không.
135. Ma trận A được gọi là ma trận đối xứng nếu:
A. A = A^T.
B. A = -A^T.
C. AA^T = I.
D. A^2 = I.
136. Cho không gian vector V và W. Phép biến đổi tuyến tính T: V → W được gọi là toàn ánh khi nào?
A. Ker(T) = {0}.
B. Im(T) = W.
C. T là đơn ánh.
D. T là đẳng cấu.
137. Cho A là ma trận vuông. Đa thức đặc trưng của A được định nghĩa là:
A. det(A).
B. det(λI – A).
C. det(A – λI).
D. trace(A).
138. Cho A và B là hai ma trận vuông cùng cấp. Khẳng định nào sau đây về định thức là đúng?
A. det(A + B) = det(A) + det(B).
B. det(AB) = det(A)det(B).
C. det(A – B) = det(A) – det(B).
D. det(A/B) = det(A)/det(B).
139. Phép chiếu trực giao của vector v lên không gian con W là vector w sao cho:
A. w thuộc W và v – w vuông góc với mọi vector trong W.
B. w thuộc W và v + w vuông góc với mọi vector trong W.
C. w không thuộc W.
D. w = 0.
140. Cho A là ma trận vuông. Trace(A) là gì?
A. Định thức của A.
B. Tổng các phần tử trên đường chéo chính của A.
C. Tích các phần tử trên đường chéo chính của A.
D. Hạng của A.
141. Giá trị riêng của ma trận tam giác là gì?
A. Các phần tử trên đường chéo chính.
B. Các phần tử trên đường chéo phụ.
C. Tất cả các phần tử của ma trận.
D. Không có giá trị riêng.
142. Cho hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Ax = 0. Điều kiện nào sau đây đảm bảo hệ có nghiệm không tầm thường?
A. det(A) ≠ 0.
B. det(A) = 0.
C. A là ma trận đơn vị.
D. A là ma trận đường chéo với các phần tử trên đường chéo khác 0.
143. Chuẩn của vector v trong không gian vector được ký hiệu là ||v||. Công thức nào sau đây đúng?
A. ||v|| = v.v.
B. ||v|| = √(v.v).
C. ||v|| = v^2.
D. ||v|| = |v|.
144. Vector riêng của ma trận A là vector khác không v thỏa mãn điều kiện nào sau đây?
A. Av = 0.
B. Av = λv, với λ là một скаляр.
C. A + v = 0.
D. A – v = 0.
145. Nếu một ma trận vuông A có định thức bằng 0, thì điều gì sau đây là đúng?
A. A khả nghịch.
B. A không khả nghịch.
C. A là ma trận đơn vị.
D. A là ma trận đường chéo.
146. Ma trận vuông A được gọi là chéo hóa được nếu:
A. A là ma trận đường chéo.
B. Tồn tại ma trận khả nghịch P sao cho P^(-1)AP là ma trận đường chéo.
C. A là ma trận đơn vị.
D. A là ma trận trực giao.
147. Tích vô hướng của hai vector u và v bằng 0 khi nào?
A. u và v cùng hướng.
B. u và v ngược hướng.
C. u và v vuông góc.
D. u hoặc v là vector không.
148. Điều kiện nào sau đây là cần và đủ để một tập hợp các vector {v1, v2, …, vn} là độc lập tuyến tính?
A. Tồn tại các скаляр c1, c2, …, cn sao cho c1v1 + c2v2 + … + cnvn = 0 và tất cả ci đều bằng 0.
B. Tồn tại các скаляр c1, c2, …, cn sao cho c1v1 + c2v2 + … + cnvn = 0 và có ít nhất một ci khác 0.
C. Tất cả các vector đều khác vector không.
D. Tập hợp các vector chứa vector không.
149. Phép biến đổi tuyến tính T: V → W được gọi là đơn ánh khi nào?
A. Ker(T) = {0}.
B. Im(T) = W.
C. T là toàn ánh.
D. T là đẳng cấu.
150. Quá trình Gram-Schmidt dùng để làm gì?
A. Tìm cơ sở trực chuẩn cho một không gian vector.
B. Giải hệ phương trình tuyến tính.
C. Tính định thức của ma trận.
D. Tìm giá trị riêng và vector riêng của ma trận.